I numeri razionali

Un numero razionale è dato dal rapporto $p/q$ tra due numeri interi. In sostanza si tratta delle frazioni che, espresse sotto forma di numero decimale, si presentano con un numero finito di cifre dopo la virgola oppure con un numero infinito di cifre periodiche. La parola razionale deriva dall'inglese ratio, che infatti significa rapporto.

Ci riferiremo d'ora in poi all'insieme dei numeri razionali con il simbolo $Q$ o $\mathbb Q$.

L'insieme $Q$ ci consente di eseguire le divisioni tra i numeri interi, operazione non sempre possibile in $Z$. Come puoi ben immaginare la divisione tra interi è necessaria nel momento in cui si vogliono rapportare grandezze fisiche o geometriche a una data unità di misura, ad esempio quando desideriamo misurare un segmento utilizzandone un altro come unità di misura (il metro, il centimentro ad es.).

• L'insieme $Q$ è chiuso rispetto alle operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Invece la radice non è un'operazione interna, perchè non sempre la radice di un razionale produce un nuovo razionale.
• L'insieme $Q$ è denso.
• L'insieme $Q$ è numerabile (vedi la dimostrazione).

Prendiamo due numeri razionali a piacere; scegliamoli in modo che siano molto vicini, per esempio $6,54320$ e $6,54321$. Sono razionali perchè li sappiamo convertire in frazione. Per quanto vicini essi siano, possiamo sempre trovare un nuovo numero razionale compreso fra essi, ad esempio $6,543201$:

$$6,54320<6,543201<6,54321$$

Questo lo possiamo fare per ogni coppia di numeri razionali distinti; se proviamo quindi a rappresentare $Q$ sulla retta, i suoi elementi sono così fitti che non posso pensare che ci sia posto tra uno e l'altro, perchè presi due di essi ne troviamo sempre uno intermedio. Pertanto li rappresentiamo tracciando una retta senza staccare la penna dal foglio:

L'insieme $Q$ è anche denso in $R$ (vedasi qui la dimostrazione). Ciò significa che tra due numeri reali c'è sempre almeno un numero razionale, quindi gli elementi di $Q$ non sono isolati.

Dal momento che gli elementi di $Q$ non sono isolati, esso non è un insieme discreto. Ciò non significa però che esso sia un insieme continuo, infatti gli manca il requisito della completezza. Dunque $Q$ non è nè discreto nè continuo. Incredibile dictu!