Potenza dei numeri razionali
Per quanto possa sembrare paradossale l'insieme $Q$ è numerabile.
La dimostrazione portata a suo tempo da Georg Cantor è tutto sommato molto semplice. Si tratta di provare che tutti i numeri razionali possono essere numerati, quindi esauriti mettendoli in successione dal primo fino all'ultimo (anche se non in ordine crescente) cosicchè possiamo chiamarli tutti: fuori il primo, fuori il secondo, fino all'ultimo…
Nello schema della figura seguente, lungo le diagonali sono posti i numeri $p/q$ aventi la stessa altezza, cioè tali che la somma tra denominatore e numeratore sia costante. Ad esempio $4/1, 3/2, 2/3, 1/4$ sono i numeri con altezza $5$.
Si vede che percorrendo la matrice nel senso delle frecce, tutti i numeri vengono considerati. Arrivati alla fine di una diagonale si aumenta in orizzontale il denominatore oppure in verticale il numeratore.
