Potenza del continuo

Georg Cantor fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la potenza del numerabile.

Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la potenza del continuo, una nuova e infinitamente più grande cardinalità.

Definizione

Per definizione, la potenza del continuo è quella dell'insieme dei numeri reali contenuti nell'intervallo $[0; 1[$.

Si dice che un insieme ha la potenza del continuo se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi dell'intervallo $[0; 1[$.

L'intervallo $[0, 1[$ non è numerabile

Dimostriamo, seguendo proprio il ragionamento di Cantor, che questo insieme non è numerabile (non ha la potenza del numerabile).

Come sappiamo, in questo intervallo ci sono tutti i numeri reali con infinite cifre dopo la virgola (non di periodo 9) del tipo:

$x=0,abcde\ldots.$

Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono enumerare.

Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo:

${x_1; x_2; x_3; x_4;\ldots}$

In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia esauribile in questo modo:

$x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} \ldots$

$x_2=0, a_{21} a_{22} a_{23} a_{24} a_{25} \ldots$

$x_3=0, a_{31} a_{32} a_{33} a_{34} a_{35} \ldots$

$x_4=0, a_{41} a_{42} a_{43} a_{44} a_{45} \ldots$

$\ldots$

Ma possiamo sempre trovare un numero reale

$y=0, b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 \ldots$

non compreso in questa serie. Basta infatti scegliere le sue cifre in modo che:

  • $b_1 \ne a_{11}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_1$ perchè ha almeno la prima cifra diversa da esso;
  • $b_2 \ne a_{22}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_2$ perchè ha almeno la seconda cifra diversa da esso;
  • $b_3 \ne a_{33}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_3$ perchè ha almeno la terza cifra diversa da esso;
  • $b_4 \ne a_{44}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_4$ perchè ha almeno la quarta cifra diversa da esso;
  • e così via.

Il numero $y$ è certamente un elemento dell'intervallo $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra.

Ne consegue che esiste una cardinalità superiore a quella del numerabile, $%%\%%aleph_1$ per l'appunto.

Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo

La figura seguente parla chiaro: anche l'intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo, perchè i suoi punti possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti dell'intervallo $[0; 1[$.

Insomma, ci sono tanti punti in $[a; b[$ quanti in $[0; 1[$.

L'insieme $\mathbb{R}$ dei reali ha la potenza del continuo

Lo stesso vale per tutta la retta dei reali, come si vede dalla seguente figura:

Se da un punto fisso $P$ si cambia l'inclinazione della retta $p$ si legano con una corrispondenza biunivoca i punti della retta $R^+$ con quelli dell'intervallo $[a; \frac{a+b}{2}[$.

Analogamente se da un punto fisso $Q$ si varia l'inclinaziobne di $q$ si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra $R^-$ e l'intervallo $[\frac{a+b}{2}; b[$.

Abbiamo dimostrato che $R$ ha la potenza del continuo.

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