Densità di $Q$ in $R$

Ovvero per ogni coppia di numeri reali $a$, $b$ con $a<b$, esiste un numero razionale compreso tra $a$ e $b$.

La dimostrazione è importante perché implica che i punti di $Q$ non sono isolati come si può invece pensare.

Supponiamo $a<b$, con $a>0$ (e quindi anche $b$). Consideramo un numero $n \in N$ tale che $n>\frac{1}{b−a}$. Si avrà che $nb−na>1$.

Prendiamo il più piccolo numero naturale $m \in N$ tale che $na<m$; ne segue che $m−1<na$. Ma allora

$$na<m=(m−1)+1<na+1<na+(nb−na)=nb$$

ovvero

$$na<m<nb$$

Dividendo tutto per $n$ abbiamo

$$a<\frac{m}{n}<b$$

Quindi esiste un numero razionale $m \over n$ compreso tra due numeri reali $a$ e $b$ presi a piacere, che è la tesi che volevamo dimostrare.

La dimostrazione nel caso $a<0$ è banale perchè $m=0$ è già una soluzione. Rimane da dimostrare il caso in cui $a<0$ e $b>0$, ma la dimostrazione è simile alla precedente; prova a farla tu