Mostra paginaPuntano quiTorna suAdd Tags Questa pagina è in sola lettura. Puoi visualizzare il sorgente, ma non puoi modificarlo. Contatta l'amministratore se pensi che ci sia un errore. ====== Densità di $Q$ in $R$ ====== Ovvero per ogni coppia di [[numeri reali]] $a$, $b$ con $a<b$, esiste un numero razionale compreso tra $a$ e $b$. La dimostrazione è importante perché implica che i punti di [[numeri razionali|$Q$]] non sono isolati come si può invece pensare. ==== Dimostrazione ==== Supponiamo $a<b$, con $a>0$ (e quindi anche $b$). Consideramo un numero $n \in N$ tale che $n>\frac{1}{b−a}$. Si avrà che $nb−na>1$. Prendiamo il più piccolo numero naturale $m \in N$ tale che $na<m$; ne segue che $m−1<na$. Ma allora $$na<m=(m−1)+1<na+1<na+(nb−na)=nb$$ ovvero $$na<m<nb$$ Dividendo tutto per $n$ abbiamo $$a<\frac{m}{n}<b$$ Quindi esiste un [[numeri razionali|numero razionale]] $m \over n$ compreso tra due [[numeri reali]] $a$ e $b$ presi a piacere, che è la tesi che volevamo dimostrare. La dimostrazione nel caso $a<0$ è banale perchè $m=0$ è già una soluzione. Rimane da dimostrare il caso in cui $a<0$ e $b>0$, ma la dimostrazione è simile alla precedente; prova a farla tu :-) {{tag>matematica insiemi "insiemi numerici"}} densita_di_q_in_r.txt Ultima modifica: 11/01/2024 15:49da Roberto Puzzanghera