Un numero è irrazionale quando… non è razionale, ovvero quando non può essere espresso sotto forma di frazione tra numeri interi.

Nella forma decimale i numeri irrazionali si presentano con infinite cifre non periodiche dopo la virgola.

I numeri irrazionali sono infiniti. Sono esempi di numeri irrazionali $\sqrt[7]{5}, \pi, e, \log_{2} 5, \sin 60, \arctan 3$. I numeri irrazionali possono essere ottenuti non solo operando con le radici (che sono operatori algebrici) ma anche con operatori trascendenti.

Il problema della duplicazione del quadrato è stato risolto con il teorema di Pitagora e l'inevitabile allargamento dei numeri razionali $Q$. Il problema era riuscire a trovare il numero razionale che rappresentasse il lato del quadrato di area doppia rispetto a un quadrato dato, ad esempio con lato $1$.

Se la diagonale del quadrato di lato $1$ fosse razionale significherebbe che potrei misurarla usando il lato come unità di misura, come se fosse il mio metro da confrontare con la grandezza in questione.

Cercheremo di costruire due successioni di decimali che approssimino per difetto e per eccesso il numero $\sqrt{2}$, che per definizione è quel numero tale che $(\sqrt{2})^2=2$.

Tra tutti i multipli di uno posso dire che:

$(1)^2 < 2 < 2^2$

quindi

$1 < \sqrt{2} < 2$

Dividiamo l'unità e facciamo i decimi, così da approssimare la $\sqrt{2}$ con la precisione del decimo.

Cerchiamo i due numeri decimali che elevati al quadrato più si avvicinano (uno per difetto e uno per eccesso) al numero 2:

$(1,1)^2=1,21\qquad (1,2)^2=1,44\qquad (1,3)^2=1,69\qquad (1,4)^2=1,96\qquad (1,5)^2=2,25$

e ci fermiamo perchè abbiamo superato il 2.

Quindi possiamo scrivere:

$1,4<\sqrt{2}<1,5$

Andiamo avanti con i centesimi e troviamo che

$(1,41)^2 = 1,9881\qquad (1,42)^2=2,0164$

Quindi possiamo scrivere:

$1,41<\sqrt{2}<1,42$

Come sappiamo nessuno è mai risucito a trovare un numero che elevato al quadrato dia esattamente 2, ma si può continuare all'infinito ad aumentare le cifre decimali. Noi fermiamoci alla quinta cifra.

Queste saranno le due successioni di numeri trovate. La prima si avvicina a $\sqrt{2}$ per difetto, la seconda per eccesso:

$S_1 = \{1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421 ... \}$

$S_2 = \{2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422 ... \}$

• I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda sono decrescenti.
• I termini della prima sono tutti minori di quelli della seconda.
• La differenza tra i termini delle due successioni si riduce man mano che si va avanti e sembra tendere a zero:

$S_{12} = \{1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; ... \}$

Quando due insiemi hanno le 3 proprietà elencate sopra si dice che sono due classi contigue di numeri.

L'elemento separatore tra le due successioni, tra le due classi contigue, è proprio il numero $\sqrt{2}$.

Non siamo riusciti a misurare con precisione la diagonale del quadrato con il lato, perchè il numero $\sqrt{2}$ è irrazionale e non può essere conosciuto con esattezza. In altri termini il rapporto tra le due lunghezze non può essere scritto come un rapporto tra numeri interi.

Quando ciò succede si dice che le due grandezze non sono commensurabili.

Ogni numero irrazionale può essere definito come l'elemento separatore tra due classi contigue di numeri razionali.

I numeri irrazionali hanno infinite cifre decimali non periodiche.