Velocità di fuga

La velocità di fuga è la velocità minima con cui si deve lanciare un corpo perchè esso fuoriesca da un campo gravitazionale.

Una massa $m$ che si trova a distanza $r$ da un corpo celeste di massa $M$ possiede un'energia potenziale gravitazionale $U=-G\dfrac{Mm}{r}$. L'energia totale sarà somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale e come sappiamo è anch'essa negativa fintanto che $m$ è prigioniera del campo gravitazionale.

La velocità di fuga si può calcolare imponendo che l'energia meccanica totale diventi zero:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 $$

$$ v_f = \sqrt{ \frac{2GM}{r} } $$

che come si vede è indipendente dalla massa $m$. Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è $11,2 Km/s$.

Si può teoricamente calcolare il raggio di un buco nero di massa $M$ (raggio di Schwarzschild) imponendo che la velocità di fuga sia pari a $c$, la velocità limite:

$$ c = \sqrt{ \frac{2GM}{R_S} } \Rightarrow R_S = \frac{2GM}{c^2}$$

Quindi la Terrà dovrebbe essere compressa fino a un raggio di $3 mm$ per diventare un buco nero, il Sole fino a $3 Km$.

  1. Calcolare la velocità di fuga dalla superficie della Terra.
  2. Calcolare la velocità di fuga dalla superficie del Sole.
  3. Calcolare il raggio di Schwarzschild di 4 milioni di masse solari, come quello che vi è al centro della nostra galassia.
  4. Calcolare il raggio di Schwarzschild di 6,6 miliardi di masse solari, come quello che vi è al centro della galassia gigante M87.