Una regola di approssimazione
Dimostriamo la seguente regola di approssimazione, che vale quando $x$ รจ molto piccolo.
$$ (1+x)^n \thickapprox 1+nx \qquad \text{per } x \thickapprox 0 \qquad \text{ed } n \text{ qualunque}$$
Infatti, per $x$ prossimo a zero, nell'intorno del valore $x=0$ possiamo approssimare la funzione $f(x) = (1+x)^n$ con l'equazione della retta tangente in quel punto:
$$ f(x) \thickapprox f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) $$
Ora tenendo conto che
$$ \begin{array}{lcl} x_0=0 \\ f(x_0=0) = 1 \\ f'(x) = n(1+x)^{n-1} \\ f'(0) = n \end{array} $$
abbiamo:
$$ f(x) \thickapprox 1 + nx $$
come volevasi dimostrare.