Mostra paginaPuntano quiTorna suAdd Tags Questa pagina è in sola lettura. Puoi visualizzare il sorgente, ma non puoi modificarlo. Contatta l'amministratore se pensi che ci sia un errore. ====== I numeri reali ====== Come abbiamo visto l'insieme $Q$ dei [[numeri razionali]] è [[Insieme denso|denso]]; ciò significa che, ordinandoli su una retta, la differenza tra un punto e il successivo è tendente a zero. Quindi la retta $r$ su cui li rappresentiamo deve essere disegnata in modo continuo così: {{:insieme_denso2.gif?nolink|}} **Domanda**: ai punti della retta corrisponde sempre un [[numeri razionali|numero razionale]] oppure no? In altre parole: esitono su questa retta dei numeri che non possono essere rappresentati come delle frazioni? Ci sono altri numeri oltre ai razionali? Certamente sì; osserviamo questa figura e togliamoci ogni dubbio: {{:esistenza_rad2_duplicazione_quadrato.gif|}} Il numero $\sqrt{2}$ esiste, come esiste la diagonale del quadrato di lato 1, e come esiste il lato del quadrato di area 2. Quindi i [[numeri razionali|razionali]], pur formando un [[insieme denso]], non ricoprono tutta la retta dei numeri. Si dice che $Q$ non è [[Insieme completo|completo]]. Però dobbiamo ancora provare che questo nuovo numero $\sqrt{2}$ non è annoverabile tra i [[numeri razionali|razionali]], ossia non può essere scritto come un rapporto tra [[numeri interi|interi]] $\frac {p}{q}$. ===== Radice di 2 prova di non essere razionale ===== E come fa a provare di essere di una natura diversa da tutti i [[numeri razionali|razionali]]? Vediamo: ragioniamo per assurdo, ovvero dimostriamo che è impossibile negare la tesi. Se ci riusciamo, saremo autorizzati ad ammetterne la validità. Quindi supponiamo per assurdo che $\sqrt{2}$ sia razionale. Ciò significa che lo possiamo scrivere come una frazione, che immaginiamo già semplificata ai minimi termini: Qui $p$ e $q$ sono due numeri interi. Non possono essere entrambi pari perchè abbiamo detto che la frazione è ridotta ai minimi termini (ho già semplificato un eventuale fattore 2). Pertanto solo una delle 3 eventualità è possibile: - sono entrambi dispari - $p$ è dispari e $q$ è pari - $p$ è pari e $q$ è dispari Riscriviamo la formula $\frac {p}{q}=\sqrt{2}$ in quest'altro modo equivalente: $p^2 =2 q^2$ Questo dimostra che il numero $p$ al quadrato è pari, visto che è multiplo di 2. Ma allora anche $p$ è pari, dato che il quadrato di un dispari è dispari e il quadrato di un pari è pari. Allora delle 3 precedenti solo l'ultima può essere vera, ovvero $p$ pari e $q$ dispari. Ma se $p$ è pari allora può essere riscritto come il doppio di un numero $n$: $p=2n$. Riscriviamo la formula di sopra ora che $p=2n$: $4n^2=2q^2$ semplifichiamo: $q^2=2n^2$ il che prova che anche $q$ è pari. Pertanto anche la 3 è falsa. Siamo giunti alla conclusione che supporre di poter scrivere $\frac {p}{q}=\sqrt{2}$ è sbagliato, quindi $\sqrt{2}$ è [[numeri irrazionali|irrazionale]]. ==== ...e ce ne sono anche infiniti altri ==== A partire dal numero $\sqrt{2}$ si possono costruire altri numeri [[numeri irrazionali|irrazionali]], come mostra questa figura: {{:esistenza_altri_irrazionali.gif|}} Con una dimostrazione del tutto analoga alla precedente si può dimostrare che anche $\sqrt{3}, \sqrt{5}$ ecc. sono [[numeri irrazionali|irrazionali]]. Prova tu a dimostrare l'irrazionalità di $\sqrt{3}$! Si può dimostrare, ma con una matematica superiore, per esempio che i nonstri numeri preferiti $\pi$ e $e$ sono irrazionali. Ecco una bellissima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$: {{youtube>Lk_QF_hcM8A|L'irrazionalità di $\pi$}} ===== I numeri reali ===== L'unione dei numeri [[numeri razionali|razionali]] e dei numeri [[numeri irrazionali|irrazionali]] forma l'insieme dei **numeri reali**, che indicheremo con il simbolo $R$ o $\mathbb{R}$ I reali contengono al loro interno i [[numeri razionali|razionali]]: {{:diagramma_di_venn_dei_numeri.gif|}} Vedremo i [[numeri complessi]] in seguito. Per ora basta anticipare che anche nell'insieme $R$ c'è un'operazione che non ha significato, ovvero la radice con indice pari dei numeri negativi. L'insieme dei [[numeri complessi]] darà un significato anche a operazioni quali $\sqrt{-1}$. ===== Proprietà dell'insieme $R$ ===== Riassumendo, l'insieme dei numeri reali gode delle seguenti proprietà (ce ne sono anche altre a dire la verità, ma noi ci fermiamo qui): * è [[insieme denso|denso]] * è [[insieme completo|completo]] * è [[proprieta di chiusura di un insieme|chiuso]] rispetto alle quattro operazioni aritmetiche (tranne che per la divisione per lo zero) e alla radice di indice pari e dispari. ===== Definizione di numero reale ===== Ogni **numero reale** può essere definito come l'elemento separatore tra due [[classi contigue di numeri|classi contigue]] di [[numeri razionali]]. ===== Pagine correlate ===== * [[Numeri irrazionali]] * [[Potenza del continuo]] {{tag>matematica insiemi algebra "insiemi numerici"}} numeri_reali.txt Ultima modifica: 2021/12/01 16:08da Roberto Puzzanghera