Misure di densità e propagazione degli errori

La misura della densità di un certo materiale, ad esempio un sasso, è una misura indiretta, perchè ci serviamo della misura della massa e del volume per risalire a quella della densità.

Con una bilancia che apprezza il centesimo di grammo abbiamo eseguito alcune letture della massa del nostro sasso. Non sempre è necessario ripetere una misura. In questo caso l'abbiamo fatto poichè la precisione dello strumento ($0,01g$) è inferiore all'errore reale, che è dovuto alle piccole fluttuazioni dovute persino agli spostamenti d'aria.

Non ho più con me i valori reali, ma supponiamo di aver ottenuto le seguenti pesate:

Tutti i valori vanno espressi, ad essere pignoli, con due cifre decimali (anche 20,00g), dal momento che la precisione della bilancia è di un centesimo di grammo (0,01g). Altra cosa, ben più importante, è che la misura deve essere sempre corredata dalla sua unità di misura.

Non avrebbe senso, infatti, scrivere 19,88 senza dire se si tratta di mg, Kg, g o che.

Allora qual è il valore esatto della massa? Non lo sappiamo mica, ma è facile capire che il valore più probabile sia la media aritmetica:

$$M = \frac{M_1+M_2+M_3+M_4+M_5}{5}=19.984g$$

Con il criterio del semiscarto massimo troviamo l'errore sulla massa:

$$e_M=\frac{20,03-19,92}{2}=0,055g \simeq 0,06g$$

Notare come l'errore viene approssimato a una sola cifra decimale significativa. La misura della massa sarà dunque, approssimando la massa alla seconda cifra dopo la virgola:

$$M=(19,98\pm 0,06)g$$

Il volume può essere misurato con un becker nel quale si può stimare al massimo il mezzo millilitro. Non c'è bisogno qui di ripetere le misure, perchè l'incertezza intrinseca dello strumento utilizzato supera l'errore accidentale che si può compiere nella lettura stessa.

Questo il volume del nostro sasso:

$$V=(4,0\pm 0,5)ml$$

Come sappiamo la densità è il rapporto tra la massa e il volume:

$$d=\frac {M}{V}=\frac{19,98 g}{4,0 ml}=4,995 \frac{g}{ml}$$

La misura della densità è stata una misura indiretta perchè l'abbiamo ricavata dalla misura della massa e dalla misura sul volume. La massa e il volume, invece, sono stati misurati con un confronto diretto utilizzando degli strumenti tarati (misura diretta).

E' chiaro che le incertezze sul valore della massa e del volume determinano una incertezza anche sulla misura della densità. Si dice che gli errori si sono propagati.

In questo caso l'errore relativo sulla densità è dato dalla somma degli errori relativi delle grandezze componenti:

$$\frac{e_d}{d}=\frac{e_M}{M}+\frac{e_V}{V}=\frac {0,06}{19,98}+\frac{0,5}{4,0}=0,128...\simeq 12,8 \% $$

L'errore relativo non ha unità di misura (qui ci torneremo su).

Quindi risolvendo una piccola equazione possiamo trovare l'errore assoluto sulla densità:

$$e_d=d \times \frac{e_d}{d}=0,128\times 4,995 \frac{g}{ml}=0,63936 \frac{g}{ml}\simeq 0,6\frac{g}{ml}$$

Questo è dunque il valore della densità correttamente espresso con il suo errore e la sua unità di misura:

$$d=(5,0 \pm 0,6)\frac{g}{ml}$$

Il valore provvisorio della densità era $4,995\ g/ml$. Siccome l'errore cade nella prima cifra decimale, è necessario esprimere anche la densità con una sola cifra dopo la virgola. Siccome la cifra tagliata è un $9$ dobbiamo approssimare in eccesso ottenendo proprio $5,0$.