elettromagnetismo_e_relativita [wiki.sagredo.eu]

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====== La vera natura del magnetismo ======

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Rifletteteci bene: qual è la vera origine della forza del campo magnetico? Nel caso stazionario, per l'[[ipotesi di Ampere]] l'origine del campo magnetico è sempre una corrente, sia essa elettrica oppure atomica.

Giusto. Ma perché una carica in moto sperimenta una forza quando si trova nel campo magnetico generato da una corrente? Abbiamo una [[forza di Lorentz]], direte voi. Perfetto, dico io. Da quale [[sistema di riferimento]] state esaminando il fenomeno? Da quello del laboratorio in cui la carica viene vista muoversi, vero? Mettetevi ora nel [[sistema di riferimento|riferimento]] della carica elettrica. La state seguendo e in questo riferimento essa appare ferma. Quanto vale qui la [[forza di Lorentz]]? È nulla!

- Huston, abbiamo un problema! \\
- Qual è il problema, comandante? \\
- Il [[principio di relatività]] è il nostro problema! Lui richiede che la fisica nei due [[sistema di riferimento|riferimenti]] sia la stessa, ma nel [[sistema di riferimento|riferimento]] dove la carica è ferma non c'è alcuna forza! \\
- E allora? \\
- E allora che dobbiamo fare? Abbandoniamo il [[principio di relatività]] o riscriviamo la fisica? \\
- La seconda che hai detto...

===== La soluzione di Einstein =====

Ecco qual era il grattacapo (più o meno) su cui stava lavorando Albert Einstein agli inizi del Novecento, ecco lo studio da cui prese le mosse la teoria della {{tagpage>relatività}}. Le leggi dell'{{tagpage>elettromagnetismo}} sembravano non obbedire al [[principio di relatività]]. La sua soluzione fu semplicissima: il campo magnetico può essere reinterpretato come una correzione relativistica della [[legge di Coulomb]]; in altre parole, è sufficiente la [[legge di Coulomb]] per fare tutto l'{{tagpage>elettromagnetismo}}. Non è meraviglioso :-)? 

La logica che c'è sotto, se teniamo conto degli effetti relativistici, è anche facilmente comprensibile: nel riferimento della carica è il filo a muoversi, e per la [[relatività delle lunghezze]] le cariche del filo aumentano la loro [[densità di carica|densità]]. Gli elettroni di conduzione, però, vengono visti andar ancor più veloci delle cariche positive, in quanto si muovono anche per via della conduzione. Pertanto vi è una disparità tra la forza elettrostatica dovuta ai protoni e quella dovuta agli elettroni. Il risultato è una forza elettrostatica netta che, a conti fatti, equivale proprio a quella che si calcola con le leggi del magnetismo.

La cosa che può sembrare strana è come possano esserci effetti macroscopici a causa di velocità così basse ($\approx 10^{-5}m/s$) come quelle con cui derivano gli elettroni di conduzione. Si tratta però di una quantità sterminata di elettroni...

Vediamo i dettagli.

==== Nel riferimento del laboratorio ====

Ecco il filo percorso da corrente $i$ nel riferimento del laboratorio. La carica $q$, per convenzione positiva, si muove a velocità $\vec v$, mentre gli elettroni di conduzione hanno una velocità ordinata $\vec u$. La corrente nel filo è dovuta agli elettroni negativi, ma come sappiamo va rappresentata con verso contrario al loro movimento. La deriva degli elettroni è molto piccola, specialmente se confrontata con la velocità della luce $c$, ed in genere è dell'ordine dei $10^{-5}m/s$.

{{:relativita:forza_lorentz_2.png?400|}}

In questo [[sistema di riferimento]] la forza del campo magnetico viene interpretata in termini di [[forza di Lorentz]]: $\vec F = q \vec v \times \vec B$. Il modulo della forza vale semplicemente $qvB$ se la velocità è parallela al filo.

Ma per la legge di [[Biot-Savart]] il campo magnetico del filo, a distanza $r$ da esso, si calcola così:

$$ B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i}{r} $$

Pertanto il modulo della forza magnetica si può scrivere:

\begin{equation}
\label{b-s}
F = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{qvi}{r}
\end{equation}

==== Nel riferimento della carica in moto ====

Vediamo che lo stesso risultato possiamo ottenerlo anche nel [[sistema di riferimento|riferimento]] che segue la carica $q$, in cui la carica è ferma. Da un punto di vista classico non si spiega per quale motivo essa debba essere attratta dal filo, visto che la [[forza di Lorentz]] è nulla. 

Il filo non esercita neanche una azione elettrostatica su di essa, perchè il filo non è elettricamente carico, e la [[densità di carica|densità lineare di carica]] delle cariche negative $\lambda^-$ è uguale a quella delle cariche positive $\lambda^+$. Pertanto la [[densità di carica]] totale è nulla.

{{:relativita:forza_lorentz_3.png?400|}}

Tutto il filo si muove verso il basso a velocità $\vec v$, quindi anche i nuclei atomici positivi vengono visti spostarsi a questa velocità. Gli elettroni di conduzione pure, ma ad essa vanno a sommare anche la velocità di deriva $\vec u$. Quindi le cariche negative si muovono più velocemente.

Il risultato è che dal punto di vista della carica $q$, per la [[relativita_delle_lunghezze|relatività delle lunghezze]], la distanza tra le cariche positive si riduce. Ma le cariche negative sono più veloci delle positive, quindi l'effetto dell'aumento della [[densità di carica|densità lineare di carica]] è più marcato per le cariche negative. \\
E se aumenta la [[densità di carica|densità lineare di carica]] aumenta il [[campo elettrico]] e quindi la forza.

=== Il calcolo della densità lineare di carica del filo ===

Da qui in poi, per brevità, useremo il termine abbreviato "densità di carica" per intendere la "[[densità di carica|densità lineare di carica]]".

Il [[campo elettrico]] $E$ generato da un filo avente [[densità di carica]] $\lambda$, a distanza $r$ da esso si calcola così:

\begin{equation} 
\label{E}
E = \frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{r}
\end{equation}

ed è diretto radialmente con verso uscente o entrante a seconda che la [[densità di carica]] sia positiva o negativa rispettivamente.

È chiaro che un conduttore genera un [[campo elettrico]] solo se ha delle cariche in eccesso, ovvero quando ha una [[densità di carica]] diversa da zero. Questo a prescindere dal fatto che sia attraversato da corrente o meno.

Qui però, per quanto detto sopra, la sua densità di carica NON è più nulla, in quanto le cariche negative si contraggono di più di quelle positive (raggiungono una densità maggiore). Conviene riscrivere la [[densità di carica]] del filo come:

$$ \lambda = \lambda^+ + \lambda^- $$

dove $\lambda^+$ e $\lambda^-$ sono le densità delle cariche positive e negative rispettivamente. Per definizione la [[densità di carica]] è la quantità di carica per unità di lunghezza:

$$ \lambda^+ = \frac{+q}{L_0} = +\lambda_0 \\
\lambda^- = \frac{-q}{L_0} = -\lambda_0 $$

Ma la lunghezza si contrae relativisticamente, quindi dobbiamo sostituire $L_0$ con $L$ che è la lunghezza effettivamente misurata:

$$ L = L_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $$

dove $L_0$ è la lunghezza propria, misurata a riposo.

Ora teniamo conto dela fatto che le cariche positive si muovono a velocità $v$, mentre quelle negative si muovono a velocità $u+v$. Quindi tenendo conto della [[relativita_delle_lunghezze]] le densità di carica precedenti diventano:


\begin{equation}
\lambda^+ = \frac{+q}{L} = \frac{+q}{L_0 \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} = +\lambda_0 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \label{l+}
\end{equation}

\begin{equation}
\lambda^- = \frac{-q}{L} = \frac{-q}{L_0 \sqrt{1-\dfrac{(v+u)^2}{c^2}}} = - \lambda_0 \left(1-\dfrac{(v+u)^2}{c^2}\right)^{-1/2} \label{l-}
\end{equation}

dove abbiamo indicato con $\lambda_0$ la [[densità di carica]] a riposo.

Ora, poichè il fattore $v/c$ è infinitesimo, possiamo usare la seguente [[una regola di approssimazione|regola di approssimazione]], che vale se $a \thickapprox 0$:

$$ (1+a)^n \thickapprox 1+na $$

Allora le [[densità di carica]] $\eqref{l+}$ e $\eqref{l-}$ diventano rispettivamente:

\begin{equation}
\lambda^+ = +\lambda_0 \left (1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \thickapprox +\lambda_0 \left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right) \label{l3}
\end{equation}

\begin{equation}
\lambda^- = - \lambda_0 \left(1-\frac{(v+u)^2}{c^2}\right)^{-1/2} \thickapprox - \lambda_0 \left(1+\frac{(v+u)^2}{2c^2}\right) \label{l4}
\end{equation}

$\lambda^-$ può essere ulteriormente semplificato visto che la velocità $u$ degli elettroni di conduzione è dell'ordine di $10^{-5}m/s$, quindi in genere molto minore di $v$:

\begin{equation}
\lambda^- = - \lambda_0 \left(1+\frac{(v+u)^2}{2c^2}\right) = - \lambda_0 \left(1+\frac{v^2+2vu+u^2}{2c^2}\right) \thickapprox - \lambda_0 \left(1+\frac{v^2+2vu}{2c^2}\right) \label{l5}
\end{equation}

dove abbiamo trascurato $u^2$, che è molto piccolo in confronto agli altri termini della somma (infinitesimo di ordine superiore).

Finalmente siamo in grado di scrivere la [[densità di carica]] totale sommando la $\eqref{l3}$ e la $\eqref{l5}$:

\begin{equation}
\label{l_final}
\lambda = \lambda^+ + \lambda^- = +\lambda_0 \left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right) - \lambda_0 \left(1+\frac{v^2+2vu}{2c^2}\right) = - \lambda_0 \frac{\not 2vu}{\not 2c^2} = - \lambda_0 \frac{vu}{c^2}
\end{equation}

=== E finalmente la forza magnetica ===

E abbiamo finito (quasi)! Per la $\eqref{E}$ e la $\eqref{l_final}$ il campo elettrico $E$ e dunque la forza $F=qE$ sono:

\begin{equation}
\label{F}
F = qE = q \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} = -q \frac{\lambda_0}{2\pi\epsilon_0 r} \frac{vu}{c^2}
\end{equation}

Il segno $-$ indica che la forza elettrostatica che abbiamo calcolato è attrattiva, come ci aspettiamo in quanto lo è anche la [[forza di Lorentz]]. 

Rimane da dimostrare che tutto ciò è uguale all'espressione della forza ricavata nel riferimento del laboratorio:

$$ F = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{qvi}{r} $$

Facciamo entrare in gioco la corrente che circola nel filo, che per definizione è la quantità di carica $Q$ che attraversa la sezione del filo nel tempo $t$:

\begin{equation}
\label{i}
i = \frac {Q}{t} = \frac{L_0}{t}\cdot\frac{Q}{L_0} = u \cdot \lambda_0
\end{equation}

questo perchè se la lunghezza $L_0$ viene attraversata dalla carica $Q$ nel tempo $t$ la velocità degli elettroni sarà $u=L_0/t$. Invece $Q/L_0$ altro non è che la solita [[densità di carica]] $\lambda_0$.

Mettiamo a sistema la corrente $\eqref{i}$ con l'espressione della forza $\eqref{F}$, ricordando quel che ci ha lasciato [[equazioni di Maxwell|Maxwell]] riguardo al modo in cui calcola la velocità della luce $c$:

$$ 
c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} \qquad \implies \qquad c^2 = \dfrac{1}{\epsilon_0\mu_0}
$$

Forza con il sistemino allora:

$$
\begin{cases}
c^2 = \dfrac{1}{\epsilon_0\mu_0} \\
i = u \lambda_0 \\
F = -q \dfrac{\lambda_0}{2\pi\epsilon_0 r} \dfrac{vu}{c^2}
\end{cases}
$$

e così si dimostra facilmente che 8-)... tadaa:

$$ F = -\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{qvi}{r} = -qv\left ( \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i}{r} \right )$$

che è la [[forza di Lorentz]] $\eqref{b-s}$, ricavata però facendo a meno del campo magnetico, che divenda una correzione relativistica della [[legge di Coulomb]].

{{tag>fisica relatività elettromagnetismo}}