Tangente a una curva in un suo punto
Consideriamo una funzione $y=f(x)$. Vogliamo determinare l'equazione della retta tangente alla curva in un punto della funzione $P(x_0;f(x_0)$.
Dalla geometria analitica sappiamo che l'equazione del fascio proprio di rette passanti per $P$ è:
$$ y - y_0 = m(x-x_0) $$
Ma, per definizione di derivata, il coefficiente angolare della retta tangente in un punto della curva è la derivata prima calcolata in quel punto:
$$ m = f'(x_0) $$
Quindi l'equazione della retta tangente diventa:
$$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) $$
Esempio
Determinare l'equazione della retta tangente alla funzione $f(x)=2x^3+1$ nel punto di ascissa $1$.
Abbiamo:
$ x_0=1 $
$f(1)=3$
$f'(x)=6x^2$
$f'(1)=6$
Quindi:
$ y = 3 + 6(x-1) = 6x-3 $