Sviluppo in serie

In un'altra pagina avevamo visto che nell'intorno di un certo punto, una funzione continua e derivabile può essere approssimata con l'equazione della retta tangente in quel punto, quindi con un polinomio di grado $1$.

Volendo si può migliorare quanto si vuole l'accuratezza, approssimando la funzione data con un polinomio di grado $n$, con $n$ grande quanto si vuole. Con elementi di analisi matematica che studieremo all'università si può infatti dimostrare che una funzione continua in un intorno di $x_0$ e ivi infinitamente derivabile, può essere sviluppata in serie con la seguente formula di Taylor:

$$ f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n $$

dove il simbolo $f^{(n)}$ indica la derivata di ordine $n$.

Se ci fermiamo al primo ordine, la funzione viene approssimata con la retta tangente:

$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) $$

Al secondo ordine abbiamo una parabola:

\begin{equation} \label{1} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 \end{equation}

notare come la concavità della parabola è dettata esclusivamente dal segno della derivata seconda $f''(x_0)$.

Sviluppiamo in serie fino al secondo ordine, quindi con un polinomio di secondo grado, la funzione $f(x) = \cos x$ nell'intorno del punto $x_0=0$. La $\eqref{1}$ diventa

\begin{equation} \label{2} f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 \end{equation}

con

$$ f(0) = 1 \\ f'(0) = -\sin 0 = 0 \\ f''(0) = -cos 0 = -1 \\ \cos x \approx 1 -\frac{1}{2}x^2 $$

Nella pagina sulla curvatura dello spazio-tempo era richiesto di sviluppare al secondo ordine la funzione

$$ f(s) = y_0 \cos (s/R) $$

nell'intorno di $s=0$, essendo $R$ e $y_0$ parametri costanti. Applicando $\eqref{2}$ si trova facilmente che

$$ f(0) = y_0 \\ f'(0) = 0 \\ f''(0) = -y_0\frac{1}{2R^2} \\ f(s) = y_0 \cos (s/R) \approx y_0 \left (1-\frac{s^2}{2R^2} \right ) $$