potenza_del_continuo

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potenza_del_continuo [19/10/2015 19:15] – [L'insieme $\mathbb{R}$ dei reali ha la potenza del continuo] Roberto Puzzangherapotenza_del_continuo [05/01/2024 09:52] (versione attuale) – [La scoperta dell'infinito] Roberto Puzzanghera
Linea 1: Linea 1:
 +====== La scoperta dell'infinito ======
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 +Tutti noi ricordiamo lo stupore provato da piccoli nell'esatto momento in cui abbiamo scoperto l'[[:potenza_del_numerabile|infinito numerabile]] (oggi lo  chiamiamo //Aleph// $\aleph_0$). Intorno ai 7 anni d'età decisi di sfidare i numeri e presi a contare fino allo sfinimento, scandendo le enumerazioni con le oscillazioni della mia sedia a dondolo. Nell'arrendermi esausto presi atto dell'infinità dei numeri naturali.
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 +Allora non potevo sospettare che di infinito ne esistesse anche un altro, ancora più grande e "[[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|potente]]". L'infinito per me era uno solo. La scoperta del suo "fratello maggiore" è infatti possibile solo con le capacità di astrazione che si maturano più avanti nell'età, intorno ai 14 anni, quando si diventa dei piccoli matematici, come siete voi oggi.
 +
 +Per l'individuazione di questo nuovo infinito ci volle la mente di [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] (1845 – 1918).
 +
 ====== Potenza del continuo ====== ====== Potenza del continuo ======
  
-[[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]].+[[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]].
  
 Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]]. Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]].
Linea 21: Linea 29:
 Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]]. Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]].
  
-Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo:+Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile, potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo:
  
 ${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$ ${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$
  
-In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia esauribile in questo modo:+In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia così esauribile:
  
 $x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$ $x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$
Linea 51: Linea 59:
 Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra. Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra.
  
-Ne consegue che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto.+Ne consegue che non possiamo [[:potenza_del_numerabile|enumerare]] l'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$. Perciò dobbiamo ammettere che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto.
  
 ====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ====== ====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ======
  • potenza_del_continuo.1445282132.txt.bz2
  • Ultima modifica: 19/10/2015 19:15
  • da Roberto Puzzanghera