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--- potenza_del_continuo [19/10/2015 19:15] – [L'insieme $\mathbb{R}$ dei reali ha la potenza del continuo] Roberto Puzzanghera
+++ potenza_del_continuo [19/12/2025 19:06] (versione attuale) – [L'intervallo $[0, 1[$ non è numerabile] Roberto Puzzanghera
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+====== La scoperta dell'infinito ======
+Tutti noi ricordiamo lo stupore provato da piccoli nell'esatto momento in cui abbiamo scoperto l'[[:potenza_del_numerabile|infinito numerabile]] (oggi lo  chiamiamo //Aleph// $\aleph_0$). Intorno ai 7 anni d'età decisi di sfidare i numeri e presi a contare fino allo sfinimento, scandendo le enumerazioni con le oscillazioni della mia sedia a dondolo. Nell'arrendermi esausto presi atto dell'infinità dei numeri naturali.
+Allora non potevo sospettare che di infinito ne esistesse anche un altro, ancora più grande e "[[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|potente]]". L'infinito per me era uno solo. La scoperta del suo "fratello maggiore" è infatti possibile solo con le capacità di astrazione che si maturano più avanti nell'età, intorno ai 14 anni, quando si diventa dei piccoli matematici, come siete voi oggi.
+Per l'individuazione di questo nuovo infinito ci volle la mente di [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] (1845 – 1918).
+====== Potenza del continuo ======
+[[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]].
+Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]].
+====== Definizione ======
+Per definizione, la **potenza del continuo** è quella dell'insieme dei [[:numeri_reali|numeri reali]] contenuti nell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$.
+Si dice che un [[:insieme|insieme]] ha la potenza del continuo se i suoi elementi possono essere messi in [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] con gli elementi dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$.
+====== L'intervallo $[0, 1[$ non è numerabile ======
+Dimostriamo, seguendo proprio il ragionamento di [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Cantor]], che questo insieme non è [[:potenza_del_numerabile|numerabile]] (non ha la [[potenza del numerabile]]).
+Come sappiamo, in questo intervallo ci sono tutti i numeri reali con infinite cifre dopo la virgola (non di periodo 9) del tipo:
+$x=0,abcde....$
+Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]].
+Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile, potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo:
+${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$
+In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia così esauribile:
+$x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$
+$x_2=0, a_{21} a_{22} a_{23} a_{24} a_{25} ...$
+$x_3=0, a_{31} a_{32} a_{33} a_{34} a_{35} ...$
+$x_4=0, a_{41} a_{42} a_{43} a_{44} a_{45} ...$
+$...$
+Ma possiamo sempre trovare un [[:numeri_reali|numero reale]]
+$y=0, b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 ...$
+non compreso in questa serie. Basta infatti scegliere le sue cifre in modo che:
+  * $b_1 \ne a_{11}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_1$ perchè ha almeno la //prima// cifra diversa da esso;
+  * $b_2 \ne a_{22}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_2$ perchè ha almeno la //seconda// cifra diversa da esso;
+  * $b_3 \ne a_{33}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_3$ perchè ha almeno la //terza// cifra diversa da esso;
+  * $b_4 \ne a_{44}$, in questo modo $y$ è diverso da $x_4$ perchè ha almeno la //quarta// cifra diversa da esso;
+  * e così via.
+Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra.
+Ne consegue che non possiamo [[:potenza_del_numerabile|enumerare]] gli elementi dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$. Perciò dobbiamo ammettere che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto.
+====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ======
+La figura seguente parla chiaro: anche l'intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo, perchè i suoi punti possono essere messi in [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] con i punti dell'intervallo $[0; 1[$.
+Insomma, ci sono tanti punti in $[a; b[$ quanti in $[0; 1[$.
+{{:potenza_ab.gif}}
+====== L'insieme $\mathbb{R}$ dei reali ha la potenza del continuo ======
+Lo stesso vale per tutta la retta dei reali, come si vede dalla seguente figura:
+{{:potenza_r.gif}}
+Se da un punto fisso $P$ si cambia l'inclinazione della retta $p$ si legano con una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] i punti della retta $R^+$ con quelli dell'[[:intervallo|intervallo]] $[a; \frac{a+b}{2}[$.
+Analogamente se da un punto fisso $Q$ si varia l'inclinaziobne di $q$ si stabilisce una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] tra $R^-$ e l'[[:intervallo|intervallo]] $[\frac{a+b}{2}; b[$.
+Abbiamo dimostrato che **$R$ ha la potenza del continuo**.
+====== Pagine correlate ======
+  * [[:potenza_del_numerabile|Potenza del numerabile]]
+  * {{:aleph.pdf|Bellissimo fumetto sull'argomento}}
+  * [[:ipotesi_del_continuo|Ipotesi del continuo]]
+{{tag>matematica algebra insiemi}}