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| potenza_del_continuo [21/05/2022 08:07] – [Potenza del continuo] Roberto Puzzanghera | potenza_del_continuo [05/01/2024 09:52] (versione attuale) – [La scoperta dell'infinito] Roberto Puzzanghera |
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| ====== Potenza del continuo ====== | ====== La scoperta dell'infinito ====== |
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| Tutti noi ricordiamo lo stupore provato da piccoli nell'esatto momento in cui abbiamo scoperto l'infinito numerabile. Ricordo (intorno ai 6 anni d'età) di aver preso a contare per ore scandendo i numeri con le oscillazioni della mia sedia a dondolo. Nell'arrendermi presi atto del fatto che i numeri naturali sono infiniti. | Tutti noi ricordiamo lo stupore provato da piccoli nell'esatto momento in cui abbiamo scoperto l'[[:potenza_del_numerabile|infinito numerabile]] (oggi lo chiamiamo //Aleph// $\aleph_0$). Intorno ai 7 anni d'età decisi di sfidare i numeri e presi a contare fino allo sfinimento, scandendo le enumerazioni con le oscillazioni della mia sedia a dondolo. Nell'arrendermi esausto presi atto dell'infinità dei numeri naturali. |
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| Allora non potevo sospettare che di infinito ne esiste uno ancora più potente. L'infinito per me era uno solo. L'indivisuazione del "fratello maggiore" dell'infinito numerabile infatti richiede di diventare dei piccoli matematici, anche se la dimostrazione della sua esistenza si può fare facilmente. | Allora non potevo sospettare che di infinito ne esistesse anche un altro, ancora più grande e "[[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|potente]]". L'infinito per me era uno solo. La scoperta del suo "fratello maggiore" è infatti possibile solo con le capacità di astrazione che si maturano più avanti nell'età, intorno ai 14 anni, quando si diventa dei piccoli matematici, come siete voi oggi. |
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| | Per l'individuazione di questo nuovo infinito ci volle la mente di [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] (1845 – 1918). |
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| | ====== Potenza del continuo ====== |
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| [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]]. | [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]]. |
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| Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]]. | Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]]. |
| Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]]. | Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]]. |
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| Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo: | Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile, potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo: |
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| ${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$ | ${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$ |
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| In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia esauribile in questo modo: | In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia così esauribile: |
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| $x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$ | $x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$ |
| Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra. | Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra. |
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| Ne consegue che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto. | Ne consegue che non possiamo [[:potenza_del_numerabile|enumerare]] l'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$. Perciò dobbiamo ammettere che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto. |
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| ====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ====== | ====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ====== |