Sovrapposizione tra onde

Come si può facilmente evincere da questa animazione, due onde si sovrappongono (interferiscono) secondo una semplice regola: in ogni punto l'elongazione dell'onda risultante è data dalla sommma vettoriale delle elongazioni delle onde componenti (principio di sovrapposizione).

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Giocare anche con quest'altra animazione, che mostra il suono risultante dalla sovrapposizione di 3 onde armoniche modulabili

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Battimenti

Se nella prima animazione si impostano delle frequenze molto vicine (ma non uguali) l'onda risultante si presneta come la successione di vari “pacchetti” d'onda, detti battimenti. Questo spiega perchè il suono risultante da un accoppiamento di due diapason aventi frequenze molto vicine consta di suoni e silenzi che si alternano.

Vediamo come si può spiegare questo anche dal punto di vista matematico, ovvero dimostrando che la somma tra due funzioni d'onda con frequenza molto simile $\omega_1 \approx \omega_2 $ dà appunto origine a una figura come quella rappresentata sopra.

Le due onde che interferiscono hanno rispettivamente frequenze angolari $\omega_1$ e $\omega_2 $ molto vicine tra loro e sono rappresentate dalle seguenti funzioni d'onda:

$$ y_1 = A_1 \sin(\omega_1 t -k_1x + \phi_1) \\ y_2 = A_2 \sin(\omega_2 t -k_2x + \phi_2) $$

Per semplicità, supponiamo che le due onde abbiano la stessa ampiezza $A$ e la stessa fase iniziale $\phi$ (che poniamo uguale a zero). Cerchiamo di capire come oscilla, al passare dell'onda, un punto dello spazio, ad esempio il punto con $x=0$.

Allora le due onde si possono riscrivere così:

$$ y_1 = A\sin(\omega_1 t) \\ y_2 = A\sin(\omega_2 t) $$ $$ con\ \omega_1 \approx \omega_2 $$

Sommiamo le due funzioni secondo il principio di sovrapposizione:

$$ y = y_1 + y_2 = A [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)] $$

Qui chiediamo aiuto alla formula di prostaferesi

$$ \sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} $$

Usando la formula di prostaferesi, dopo le semplificazioni abbiamo:

$$ y = 2A \cos \frac{\Delta\omega t}{2} \times \sin (\frac{\omega_1 + \omega_2 }{2} t) \\ dove\ \Delta\omega = \omega_1 - \omega_2 $$

E siccome non c'è molta differenza tra $\omega_1$ e $\omega_2$ la loro media aritmetica $\omega$ non differisce molto da $\omega_1$ e $\omega_2$:

$$ \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} = \omega \approx \omega_1 \approx \omega_2 $$

Con queste semplificazioni l'onda data dalla sovrapposizione si può scrivere così:

$$ y = 2A \cos (\frac{\Delta\omega}{2} t) \times \sin (\omega t) $$

Riconosciamo, nella formula precedente, il prodotto tra due termini

$$ y = \color{blue} {2A \cos (\frac{\Delta\omega}{2} t)} \times \color{red} {\sin (\omega t)} $$

Quello colorato in blu ha frequenza angolare $\Delta\omega / 2$ (frequenza più bassa), mentre l'altro, quello rosso, ha frequenza angolare $\omega$ (più alta).

Qui sopra il grafico tracciato in nero è il prodotto tra la cosinusoide blu e la sinusoide rossa. Possiamo considerare il termine in blu come il fattore che rappresenta l'ampiezza della funzione. Si vede infatti che l'ampiezza varia come una cosinusoide, proprio come succede nei battimenti sonori, nei quali si avverte un suono che alterna una alta intensità a momenti di silenzio.