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| numeri_razionali [24/02/2015 20:36] – [$Q$ non è nè discreto nè continuo] Roberto Puzzanghera | numeri_razionali [08/07/2015 19:53] (versione attuale) – [I numeri razionali] Roberto Puzzanghera |
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| | ====== I numeri razionali ====== |
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| | Un **numero razionale** è dato dal rapporto $p/q$ tra due [[numeri interi]]. In sostanza si tratta delle **frazioni** che, espresse sotto forma di numero decimale, si presentano con **un numero finito di cifre dopo la virgola oppure con un numero infinito di cifre periodiche**. La parola //razionale// deriva dall'inglese //ratio//, che infatti significa rapporto. |
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| | Ci riferiremo d'ora in poi all'insieme dei numeri razionali con il simbolo $Q$ o $\mathbb Q$. |
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| | L'insieme $Q$ ci consente di eseguire le divisioni tra i [[numeri interi]], operazione non sempre possibile in $Z$. Come puoi ben immaginare la divisione tra interi è necessaria nel momento in cui si vogliono rapportare grandezze fisiche o geometriche a una data unità di misura, ad esempio quando desideriamo misurare un segmento utilizzandone un altro come unità di misura (il metro, il centimentro ad es.). |
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| | ===== Alcune proprietà dell'insieme $Q$ ===== |
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| | * L'insieme $Q$ è [[proprieta di chiusura di un insieme|chiuso]] rispetto alle operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Invece la radice //non// è un'operazione [[operazione interna|interna]], perchè non sempre la radice di un razionale produce un nuovo razionale. |
| | * L'insieme $Q$ è [[Insieme denso|denso]]. |
| | * L'insieme $Q$ è [[insieme numerabile|numerabile]] (vedi la [[potenza dei numeri razionali|dimostrazione]]). |
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| | === $Q$ è denso in sè === |
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| | Prendiamo due numeri razionali a piacere; scegliamoli in modo che siano molto vicini, per esempio $6,54320$ e $6,54321$. Sono razionali perchè li sappiamo convertire in frazione. Per quanto vicini essi siano, possiamo sempre trovare un nuovo numero razionale compreso fra essi, ad esempio $6,543201$: |
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| | $$6,54320<6,543201<6,54321$$ |
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| | Questo lo possiamo fare per ogni coppia di numeri razionali distinti; se proviamo quindi a rappresentare $Q$ sulla retta, i suoi elementi sono così fitti che non posso pensare che ci sia posto tra uno e l'altro, perchè presi due di essi ne troviamo sempre uno intermedio. Pertanto li rappresentiamo tracciando una retta senza staccare la penna dal foglio: |
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| | {{:insieme_denso2.gif?nolink|}} |
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| | === $Q$ è denso in $R$ === |
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| | L'insieme $Q$ è anche denso in $R$ ([[densità di Q in R|vedasi qui la dimostrazione]]). Ciò significa che tra due [[numeri reali]] c'è sempre almeno un numero razionale, quindi gli elementi di $Q$ **non** sono [[punto isolato|isolati]]. |
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| | === $Q$ non è nè discreto nè continuo === |
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| | Dal momento che gli elementi di $Q$ non sono [[punto isolato|isolati]], esso **non** è un [[insieme discreto]]. Ciò non significa però che esso sia un [[insieme continuo]], infatti gli manca il requisito della [[insieme completo|completezza]]. Dunque $Q$ non è nè [[insieme discreto|discreto]] nè [[insieme continuo|continuo]]. Incredibile dictu!8-O |
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| | {{tag>matematica insiemi "insiemi numerici"}} |