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--- numeri_irrazionali [04/12/2019 09:40] – [I numeri irrazionali] Roberto Puzzanghera
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+====== I numeri irrazionali ======
+Un numero è **irrazionale** quando… non è razionale, ovvero quando non può essere espresso sotto forma di frazione tra [[numeri interi]].
+**Nella forma decimale i numeri irrazionali si presentano con infinite cifre non periodiche dopo la virgola.**
+I numeri irrazionali sono infiniti. Sono esempi di numeri irrazionali $\sqrt[7]{5}, \pi, e, \log_{2} 5, \sin 60, \arctan 3$. I numeri irrazionali possono essere ottenuti non solo operando con le radici ma anche con "[[numeri_trascendenti|operatori trascendenti]]" (mi si passi il termine //trascendente// qui, visto che esso è generalmente riferito ai //numeri// e non agli //operatori//).
+=====  Numeri decimali illimitati non periodici  =====
+Il problema della duplicazione del quadrato è stato risolto con il teorema di Pitagora e l'inevitabile allargamento dei [[numeri razionali]] $Q$. Il problema era riuscire a trovare il numero razionale che rappresentasse il lato del quadrato di area doppia rispetto a un quadrato dato, ad esempio con lato $1$.
+{{:esistenza_rad2_duplicazione_quadrato.gif|}}
+Se la diagonale del quadrato di lato $1$ fosse razionale significherebbe che potrei misurarla usando il lato come [[unità di misura]], come se fosse il mio //metro// da confrontare con la grandezza in questione.
+Cercheremo di costruire due successioni di decimali che approssimino per difetto e per eccesso il numero $\sqrt{2}$, che per definizione è quel numero tale che $(\sqrt{2})^2=2$.
+===  Prima approssimazione  ===
+Tra tutti i multipli di uno posso dire che:
+$(1)^2 < 2 < 2^2$
+quindi
+$1 < \sqrt{2} < 2$
+===  Seconda approssimazione  ===
+Dividiamo l'unità e facciamo i decimi, così da approssimare la $\sqrt{2}$ con la precisione del decimo.
+Cerchiamo i due numeri decimali che elevati al quadrato più si avvicinano (uno per difetto e uno per eccesso) al numero 2:
+$(1,1)^2=1,21\qquad (1,2)^2=1,44\qquad (1,3)^2=1,69\qquad (1,4)^2=1,96\qquad (1,5)^2=2,25$
+e ci fermiamo perchè abbiamo superato il 2.
+Quindi possiamo scrivere:
+$1,4<\sqrt{2}<1,5$
+===  Terza approssimazione  ===
+Andiamo avanti con i centesimi e troviamo che
+$(1,41)^2 = 1,9881\qquad (1,42)^2=2,0164$
+Quindi possiamo scrivere:
+$1,41<\sqrt{2}<1,42$
+===  Approssimazioni successive  ===
+Come sappiamo nessuno è mai risucito a trovare un numero che elevato al quadrato dia esattamente 2, ma si può continuare all'infinito ad aumentare le cifre decimali. Noi fermiamoci alla quinta cifra.
+Queste saranno le due successioni di numeri trovate. La prima si avvicina a $\sqrt{2}$ per difetto, la seconda per eccesso:
+$S_1 = \{1; 1,4; 1,41; 1,414;  1,4142; 1,41421 ...  \}$
+$S_2 = \{2; 1,5; 1,42; 1,415;  1,4143; 1,41422 ...  \}$
+  * I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda sono decrescenti.
+  * I termini della prima sono tutti minori di quelli della seconda.
+  * La differenza tra i termini delle due successioni si riduce man mano che si va avanti e sembra tendere a zero:
+$S_{12} = \{1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;  0,00001; ...  \}$
+Quando due [[insiemi]] hanno le 3 proprietà elencate sopra si dice che sono due [[classi contigue di numeri]].
+L'elemento separatore tra le due successioni, tra le due classi contigue, è proprio il numero $\sqrt{2}$.
+=====  Il lato non è commensurabile alla diagonale  =====
+Non siamo riusciti a misurare con precisione la diagonale del quadrato con il lato, perchè il numero $\sqrt{2}$ è irrazionale e non può essere conosciuto con esattezza. In altri termini il rapporto tra le due lunghezze non può essere scritto come un rapporto tra [[numeri interi]].
+Quando ciò succede si dice che le due grandezze non sono [[grandezze commensurabili|commensurabili]].
+======  Definizione definitiva di numero irrazionale  ======
+Ogni numero irrazionale può essere definito come l'elemento separatore tra due [[classi contigue di numeri|classi contigue]] di [[numeri razionali]].
+I numeri irrazionali hanno infinite cifre decimali non periodiche.
+{{tag>matematica insiemi algebra "insiemi numerici"}}