Il modello del Big Bang dell'universo

In questa pagina ci proponiamo di fare delle previsioni sull'evoluzione dell'universo, o meglio su quale forma possa avere la funzione $R(t)$, che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo, detto anche fattore di scala. Come dici? Perchè fattore di scala? Innanzitutto perchè il termine raggio poco si addice a un eventuale universo piatto o sferico, e poi perchè con la misura del redshift $z$ abbiamo informazioni sul rapporto tra il valore di $R_e$ all'istante in cui la radiazione osservata è stata emessa e il suo valore all'epoca attuale $R_r$:

\begin{equation} 1+z = \frac{R_r}{R_e} \end{equation}

Quindi se ad esempio $z=4$ l'universo era $5$ volte più piccolo quando la radiazione è stata emessa. Certo, se si trattasse di un universo sferico potremmo ben chiamarlo raggio dell'universo.

Le vere equazioni di Einstein non sono quelle che stiamo andando a scrivere. Per farlo ci vorrebbe una matematica universitaria molto complessa. Scriveremo un qualcosa che vi assomiglia un po' e che abbia una lettura non dissimile, ma la dimostrazione che faremo noi non sarà molto rigorosa; servirà solo per dare un minimo di giustificazione a una formula. Ciò non significa però che le vere equazioni non abbiano un solido basamento teorico.

A noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all'evoluzione passata e futura del nostro universo, essendo consapevoli dei limiti della teoria a causa delle misure incerte di $H$ e della densità media dell'universo $\rho$. C'è anche da dire che quei pazzerelli dei fisici teorici ne inventano una al giorno e le cose che diciamo qui andrebbero ancor di più prese con le… pinze? le molle? non mi ricordo più come si dice, ma ci siamo capiti. Insomma la teoria dell'universo inflazionario, la scoperta della materia oscura e dell'energia oscura sono cose che nel corso di questi ultimi anni hanno rivisto, e non di poco, la teoria classica del Big Bang, che è quella di cui cerchiamo di parlare qui e che è quella di cui si può parlare in una classe di liceo grazie anche a luminari, come il prof. Elio Fabri, che ci hanno messo la testa per rendere queste cose accessibili anche a noi poveri mortali.

Ma ora basta con le ciance, spegnere i cellulari, abbassiamo le luci e iniziamo.

Anzi no. Prima una cosa importante riguardo alla notazione usata. Se io scrivo:

$$ R''^2 $$

cosa leggete voi? Ammetterete che non è chiaro. È $R$ elevato $112$? È forse la derivata seconda di $R$ elevata al quadrato? Si volevo intendere proprio quest'ultima cosa. Per evitare simili problemi grafici, e quando la derivata è intesa rispetto alla variabile tempo $t$, possiamo trovar scritto anche:

$$ \dot R, \ddot R $$

per intendere rispettivamente le derivate prima, seconda etc. rispetto alla variabile $t$. Così faremo anche noi. Beccatevi quest'altra ciliegina :)

Ora iniziamo veramente.

Come detto prima vogliamo teorizzare su come possa esser fatta la funzione $R(t)$. Con equazioni di evoluzione intendiamo proprio le equazioni che involvono (è un inglesismo o sui può dire? correggerò…) $R(t)$ e le sue derivate.

Siamo sulla Terra e dal nostro punto di vista abbiamo una bella sfera di materia di raggio $r$ con densità media uniforme e nel bordo di questa sfera c'è una galassia di massa $m$. Se la sfera non è troppo grande le velocità di allontanamento delle galassie da noi non sono elevate in confronto a $c$ e possiamo usare la fisica classica e la legge della gravitazione universale di Newton, sapendo che, per teorema di Gauss, la forza di gravità avvertita da $m$ è dovuta solo alla massa interna alla sfera (il teorema di Gauss vale tanto per la legge di Coulomb che per la legge di Newton in conseguenza del fatto che hanno la stessa struttura matematica):

$$ ma = - \frac{GMm}{r^2} $$

Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di poveri e galassie. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante per via del Principio Cosmologico. Scriviamo però l'accelerazione $a$ come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo e semplifichiamo $m$:

$$ \ddot r = - \frac{GM}{r^2} $$

È meglio lavorare con la densità $\rho$ anzichè con la massa, quindi l'equazione precedente diventa:

$$ \begin{cases} M = \rho V \\ V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 \\ \ddot r = - \dfrac{GM}{r^2} \end{cases} $$

e risolvendo troviamo:

\begin{equation} \label{2} \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r \end{equation}

Immagino che vi starete chiedendo che ci frega a noi della distanza $r$ dalla Terra se siamo interessati a studiare il raggio di curvatura (fattore di scala) $R$ dell'universo. Quindi cambiamo subito variabile, ricordando che, in coordinate comoventi, se $\theta$ è la separazione angolare tra la Terra e la galassia, la loro distanza $r$ è la lunghezza dell'arco ed $R$ è il raggio dell'universo:

\begin{equation} \label{3} r=R ~\theta \end{equation}

e ricorderete che tanto per fissare le idee stiamo facendo finta che l'universo sia una superficie sferica a due dimensioni, mentre in realtà ha una dimensione spaziale in più.

Andiamo a sostituire la $\eqref{3}$ nella $\eqref{2}$ tenendo presente che:

$$ r=\theta R \\ \dot r = \theta \dot R \\ \ddot r = \theta \ddot R $$

quindi $\theta$ si elide membro a membro e abbiamo:

\begin{equation} \label{4} \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R \end{equation}

Prima l'avevo detto che il ragionamento non era rigoroso e immagino che alcuni di voi abbiano già protestato per il poco rigore dovuto al fatto che anche la materia esterna a quella sfera produce attrazione, visto che l'universo non ha centri. Inoltre non possiamo calcolare le distanze in modo euclideo se non sappiamo ancora se esso è curvo o no. Ma pazienza, abbiamo detto sopra che il nostro obiettivo è speculare sull'equazione di evoluzione, piuttosto che ricavarla con rigore, cosa impossibile per noi, e infatti ci sono dei piccoli ritocchi in arrivo, ma li vediamo fra un attimo.

Nell'equazione $\eqref{4}$ non solo $R$ dipende da $t$ (avremmo dovuto scrivere $R(t)$ ma non l'abbiamo fatto per brevità), ma anche $\rho$; l'universo si espande mentre la materia è sempre la stessa (umh… non è detto però… potrebbe trasformarsi in luce, che produce anch'essa attrazione, ma ci torniamo dopo) e quindi la densità diminuisce con il volume, quindi come $1/R^3$.

Se indichiamo con $\rho_0$ la densità all'epoca attuale possiamo scrivere, visto che la densità è inversamente proporzionale a $R^3$.:

\begin{equation} \label{5} \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} \end{equation}

Sostituiamo nella $\eqref{4}$

\begin{equation} \label{6} \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \end{equation}

Si vede che la derivata seconda è negativa, quindi il grafico è concavo e deve essere esistito un istante in cui $R=0$ (il Big Bang), ovvero la curva tocca l'asse delle ascisse.

Chiamatela pure equazione differenziale, visto che contiene sia la funzione che la sua derivata (seconda in questo caso). È talmente facile da risolvere che tra qualche settimana vi farà il solletico. Anzi, risolviamola oggi, tanto sapete già integrare; perchè per togliere la derivata ci vuole la sua operazione inversa, l'integrale, giusto? Giusto.

Per motivi che saranno chiari tra poco, vogliamo una versione della $\eqref{6}$ in cui compare la derivata prima $\dot R$ anziche $\ddot R$. Anzi diciamolo subito: vogliamo metter dentro la costante di Hubble, che è ciò che poi si misura, la quale dipende da $\dot R$ secondo la relazione:

$$ H = \frac{\dot R}{R} $$

Moltiplichiamo allora per $\dot R$ membro a membro:

\begin{equation} \label{7} \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R \end{equation}

Ma siccome

$$\dot R = \frac{dR}{dt}$$

moltiplichamo tutto per $dt$ e abbiamo

\begin{equation} \label{8} \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR \end{equation}

Ma guardate bene il primo membro: $\ddot R$ è la derivata di $\dot R$, quindi è come scrivere:

$$ \dot R ~\ddot R ~dt = \dot R ~\frac{d\dot R}{dt} dt = \dot R ~d\dot R $$

Usiamo quanto sopra a primo membro e integriamo, portando anche fuori dall'integrale le costanti:

\begin{equation} \label{9} \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR \end{equation}

Non fatevi confondere dal punto sopra la variabile $R$; l'integraluccio a sinistra è come $\int xdx = x^2/2$, mentre quello a destra è come $\int x^{-2}dx = -1/x$ quindi

\begin{equation} \label{10} \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost \end{equation}

nelle vere equazioni di Einstein, quelle corrette ottenute con un procedimento più rigoroso, la costante di integrazione non è qualunque, ma si scrive come $-kc^2$ dove $k$ è la curvatura dell'universo.

In particolare abbiamo:

\begin{equation} \label{11} \begin{cases} k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\ k=1 \ \ \mbox{spazio sferico} \\ k=-1 \ \ \mbox{spazio iperbolico} \end{cases} \end{equation}

Riscriviamo quindi l'espressione definitiva dell'equazione di evoluzione, che ci dice la legge con cui si evolve il raggio dell'universo:

\begin{equation} \label{12} \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 \end{equation}

Le cose si semplificano se teniamo conto di come si può scrivere la costante di Hubble:

\begin{equation} \label{H} H = \frac{\dot R}{R} \end{equation}

Infatti, dividendo membro a membro per $R^2$ la $\eqref{12}$ diventa

\begin{equation} \label{13} H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} \end{equation}

Noi facciamo le misure di H e della densità dell'universo al tempo al tempo odierno, quindi riscriviamo l'equazione al tempo $t_0$ (oggi) in cui $R=R_0$ e $H=H_0$ (anche $H$ come sappiamo dipende da $t$):

\begin{equation} \label{14} H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} \end{equation}

che si può scrivere anche così

\begin{equation} \label{15} 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} \end{equation}

L'$1$ a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$:

\begin{equation} \label{16} \rho_c = 3H^2_0/8\pi G \end{equation}

e definiamo il parametro di densità $\Omega$ come:

\begin{equation} \label{17} \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} \end{equation}

Quindi la \eqref{15} si può scrivere

\begin{equation} \label{18} 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} \end{equation}

che ci consente di calcolare la curvatura $k$:

\begin{equation} \label{19} k = \frac{\Omega -1}{c^2/R^2_0 H^2_0} \end{equation}

Che leggerebbe un fisico qui? Perchè l'ha scritta così, sottolieando il rapporto $\Omega$ tra la densità attuale (misurabile!) $\rho_0$ e la densità critica $\rho_c$? Che ruolo giocano la densità critica e il parametro $\Omega$? E la costante di Hubble?

Vedete che il segno di $k$ e quindi la curvatura (ovvero la geometria, la sua forma, e tra poco vedremo anche la sua storia passata e futura) dipendono da $\Omega$:

\begin{equation} \begin{cases} \Omega = 1 \ \ (\rho_0=\rho_c) \implies k=0 \ \ \implies \ \ \mbox{universo piatto ed euclideo} \\ \Omega > 1 \ \ (\rho_0>\rho_c) \implies k>0 \ \ \implies \ \ \mbox{universo sferico e chiuso} \\ \Omega = 1 \ \ (\rho_0<\rho_c) \implies k<0 \ \ \implies \ \ \mbox{universo iperbolico ed aperto} \end{cases} \end{equation}

Da questo si capisce l'importanza di conoscere la densità media dell'universo, che si può determinare stimando la densità e la massa delle galassie lontane. Nel contempo è necessario a far luce anche sul problema della materia oscura e dell'energia oscura, attore quest'ultimo entrato nel palcoscenico della cosmologia molto di recente. La partita si gioca non soltanto sulle scrivanie dei cosmologi, ma anche in quelle dei fisici teorici e sperimentali che si occupano rispettivamente di fare e verificare le teorie sulle particelle, la teoria delle strighe per esempio.

Sfruttando la $\eqref{19}$, l'equazione $\eqref{12}$ si può scrivere

\begin{equation} \label{22} \dot R^2 = H^2_0 \left(\frac{\Omega}{R}+1-\Omega \right) \end{equation}

Ora vediamo di farne il limite per $R \longrightarrow + \infty$ per capire cosa succederà nel futuro remoto. Il primo termine dentro la parentesi tende a zero, dunque possiamo stimare con quale velocità l'universo assumerà eventualmente un raggio infinito:

\begin{equation} \label{23} \dot R^2 = H^2_0 (1-\Omega) \end{equation}

Se $\Omega <1$ ($\rho_0>\rho_c$, geometria iperbolica) l'universo finirà con una velocità finita diversa da zero. L'universo ha più energia cinetica che potenziale.
Se $\Omega >1$ ($\rho_0<\rho_c$, geometria sferica) la velocità di espansione $\dot R$ diventerà zero prima che il raggio sia infinito e quindi ricollasserà in una singolarità (lo chiamano Big Crunch) dove $R=0$. L'universo non ha sufficiente energia cinetica per evitare il collasso.
Se $\Omega =1$ ($\rho_0=\rho_c$, geometria euclidea e spazio piatto) l'universo si espande fino ad avere un raggio infinito arrivando a questo stadio con una velocità nulla. Qui c'è una chiara analogia con la velocità di fuga.

In quest'ultimo caso ($\Omega=1$) abbiamo una soluzione della $\eqref{22}$ abbastanza semplice:

\begin{equation} \label{24} \dot R^2 = \frac{\Omega H^2_0}{R} \end{equation}

Prima di integrare e risolvere l'equazione differenziale è necessario estrarre la radice e separare le variabili $R$ e $t$:

$$ \sqrt{R}~dR = H_0 dt$$

che è pronta ad essere integrata

\begin{equation} \label{25} \int \sqrt{R}~dR = H_0 \int dt \implies R = \left(\frac{3}{2}H_0 t\right)^\frac{2}{3} \end{equation}

La dinamica di questi tre tipi di comportamento è schematizzata nella figura qui sotto: