onde:oscillatore_armonico [wiki.sagredo.eu]

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====== L'oscillatore armonico ======

Il [[https://it.wikipedia.org/wiki/Millennium_Bridge|Millennium Bridge]] sul Tamigi (Londra) costò 18 milioni di sterline e fu chiuso due giorni dopo l'inaugurazione a causa di pericolose oscillazioni. Sembra che le prime piccole oscillazioni obbligassero coloro che lo attraversavano a camminare //sintonizzandosi// su quelle oscillazioni, che andavano così ad aumentare di ampiezza in modo non previsto.

{{youtube>eAXVa__XWZ8|Millennium Bridge}}

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Il video che segue può servire a comprendere meglio come sia possibile che degli oscillatori possano tutti oscillare in fase, pur non essendolo all'inizio, trovando una sicronia che non c'era affatto all'inizio. 

{{youtube>5v5eBf2KwF8|La sincronizzazione dei metronomi}}

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Quest'altro è ancora più incredibile. Non dico nulla.. mi aspetto che lo commentiate da soli dicendo per lo meno perchè la sincronia non può essere duratura.

{{youtube>o3Q7JYBkOHU|La fugace sincronizzazione dei pendoli}}

Se volete vederne degli altri simili, cercate "Pendulum wave" su [[https://youtu.be/b8O1jlHyKpU|Youtube]].

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Ma lasciamo le divagazione e torniamo ai fenomeni di risonanza nei ponti. Nel 1940 vi fu un evento ben più grave quando il [[https://it.wikipedia.org/wiki/Ponte_di_Tacoma|Ponte di Tacoma]] (USA) crollò due mesi dopo la costruzione per le forti oscillazioni dovute al vento che portarono il ponte in uno stato di [[Onde stazionarie|risonanza]].

{{youtube>lXyG68_caV4|Tacoma Narrows Bridge}}

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I quattro amici qui sotto sembrano aver capito che un ponte, come un qualunque altro corpo rigido, può oscillare in svariate maniere (modi di vibrazione o armoniche), e giocano a mettere in risonanza il ponte sincronizzando la forza esterna da essi applicata con la frequenza di oscillazione del ponte (si noti come sia il ponte a "dar loro" il ritmo di oscillazione, non il contrario).
Guarda il video e cerca di capire quali sono questi [[modi propri di vibrazione]].

{{youtube>uWoiMMLIvco|I modi di vibrazione di un ponte}}

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===== La legge oraria dell'oscillatore armonico =====

Cerchiamo ora di descrivere meglio un corpo che oscilla, per esempio una massa attaccata a una molla. In laboratorio abbiamo visto che, per una data molla, la [[frequenza]] di oscillazione cresce con la [[costante elastica]] $k$ e diminuisce con la [[massa]] $m$ della molla. Questo perchè? Prova  a ricordarlo tu...

Intanto possiamo notare da [[https://ggbm.at/NUaEF5GA|questa animazione]] basata su [[https://www.geogebra.org/|GeoGebra]] che vi è una similitudine tra l'oscillazione di un sistema massa/molla e il moto circolare uniforme. Infatti l'[[elongazione]] della molla vale quanto l'ordinata $y_B(t)$ al tempo $t$.

{{url>https://www.geogebra.org/classic/ysykbqet 1200,800 noborder}}

~ [[https://files.sagredo.eu/ggb/onde/oscillatore_armonico.ggb|Scarica file ggb]] ~

Possiamo dunque scrivere, conoscendo la definizione della funzione //seno//

\begin{equation}
\label{1}
\tag{1}
y_B(t) = \sin(\omega t)
\end{equation}

essendo $\omega = 2\pi / T$ la [[velocità angolare]] del **moto armonico**.

<WRAP center round info 60%>
Un oscillatore viene detto **armonico** quando è soggetto a una forza che risponde alla legge di Hooke ($\vec F=-k\vec x$), ovvero è proporzionale allo spostamento ed è sempre di verso contrario ad esso.

In tal caso lo spostamento può essere descritto da una [[sinusoide]] (o volendo anche da una [[cosinusoide]]).
</WRAP>

Come abbiamo visto nel corso di matematica, la $\eqref{1}$ può essere generalizzata al caso di un'onda con ampiezza $A$ e fase iniziale $\varphi_0$:

\begin{equation}
\label{2}
\tag{2}
y(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)
\end{equation}

~ [[http://files.sagredo.eu/ggb/onde/funzione_onda.ggb|Scarica file ggb]] ~

===== L'oscillatore armonico e i parametri della molla =====

[[https://www.geogebra.org/m/EabqaJRd|Questa animazione]] mostra ancora meglio le cose, un po' come se la molla potesse tracciare il suo movimento su un foglio che le scorre sotto. 

Come abbiamo visto anche direttamente in laboratorio, la [[frequenza]] di oscillazione $f=1/T$ può essere aumentata in due modi:

  - diminuendo la massa $m$ (c'è meno inerzia)
  - aumentando la costante della molla, di modo da avere una molla più rigida e quindi più forte.

{{url>https://www.geogebra.org/classic/EabqaJRd 1200,800 noborder}}

~ [[http://files.sagredo.eu/ggb/onde/oscillatore_armonico_con_parametri_molla.ggb|Scarica file ggb]] ~

===== La relazione tra i parametri $m$ e $k$ della molla e la frequenza di oscillazione =====

Cerchiamo ora la relazione esatta tra tutte le variabili in gioco.

Come già sappiamo, la forza elastica è una [[forza conservativa]], pertanto esiste una forma di [[energia potenziale]] e l'[[energia meccanica]] è costante. Guardando [[https://www.geogebra.org/m/mRceWEDx|questa animazione]], osserviamo come un oscillatore armonico converta continuamente l'[[energia potenziale]] $U=\tfrac{1}{2}kx^2$ in [[energia cinetica]] $K=\tfrac{1}{2}mv^2$

{{url>https://www.geogebra.org/classic/mRceWEDx 1200,800 noborder}}

~ [[http://files.sagredo.eu/ggb/onde/oscillatore_armonico_energia.ggb|Scarica file ggb]] ~

Quindi se indichiamo con $A$ l'ampiezza massima di oscillazione e con $v$ la velocità massima (che si ha nel punto di equilibrio) si può facilmente scrivere che, poichè l'energia in gioco è una costante (si conserva), l'[[energia cinetica]] massima $K=\tfrac{1}{2}mv^2_{max}$ è uguale all'[[energia potenziale]] massima $U=\tfrac{1}{2}kA^2$:

$$ \frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}kA^2 $$

da cui semplificando otteniamo la velocità massima di movimento:

$$ v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}A $$

Ricorda anche che

<WRAP center round tip 60%>
L'energia di un'oscillazione è proporzionale al quadrato dell'ampiezza di oscillazione $A$.
</WRAP>
 
Significa che, se qualcuno fa un fischio col fischietto, chi sta a distanza doppia lo sente con [[intensità]] pari a un quarto, chi sta a distanza tripla con [[intensità]] pari a un nono e così via.

==== Il periodo, la frequenza e la velocità angolare nel moto armonico ====

Ora è tutto in discesa. Bisogna solo tener presente che la velocità massima $v_{max}$ corrisponde a quella (costante) del [[moto circolare uniforme]] associato, dove il raggio della circonferenza è uguale all'ampiezza massima di oscillazione $A$. Quindi:

$$ v_{max} = \frac{lungh. circonf.}{periodo} = \frac{2\pi A}{T} $$

Confrontando i due risultati abbiamo che

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

$$ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$

$$ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

che è in accordo con i fatti sperimentali, cioè che la frequenza aumenta con $k$ e diminuisce con $m$.

{{tag>fisica meccanica onde oscillazioni}}