L'oscillatore armonico

Il Millennium Bridge sul Tamigi (Londra) costò 18 milioni di sterline e fu chiuso due giorni dopo l'inaugurazione a causa di pericolose oscillazioni. Sembra che le prime piccole oscillazioni obbligassero coloro che lo attraversavano a camminare sintonizzandosi su quelle oscillazioni, che andavano così ad aumentare di ampiezza in modo non previsto.


Il video che segue può servire a comprendere meglio come sia possibile che degli oscillatori possano tutti oscillare in fase, pur non essendolo all'inizio, trovando una sicronia che non c'era affatto all'inizio.


Quest'altro è ancora più incredibile. Non dico nulla.. mi aspetto che lo commentiate da soli dicendo per lo meno perchè la sincronia non può essere duratura.

Se volete vederne degli altri simili, cercate “Pendulum wave” su Youtube.


Ma lasciamo le divagazione e torniamo ai fenomeni di risonanza nei ponti. Nel 1940 vi fu un evento ben più grave quando il Ponte di Tacoma (USA) crollò due mesi dopo la costruzione per le forti oscillazioni dovute al vento che portarono il ponte in uno stato di risonanza.


I quattro amici qui sotto sembrano aver capito che un ponte, come un qualunque altro corpo rigido, può oscillare in svariate maniere (modi di vibrazione o armoniche), e giocano a mettere in risonanza il ponte sincronizzando la forza esterna da essi applicata con la frequenza di oscillazione del ponte (si noti come sia il ponte a “dar loro” il ritmo di oscillazione, non il contrario). Guarda il video e cerca di capire quali sono questi modi propri di vibrazione.


Cerchiamo ora di descrivere meglio un corpo che oscilla, per esempio una massa attaccata a una molla. In laboratorio abbiamo visto che, per una data molla, la frequenza di oscillazione cresce con la costante elastica $k$ e diminuisce con la massa $m$ della molla. Questo perchè? Prova a ricordarlo tu…

Intanto possiamo notare da questa animazione basata su GeoGebra che vi è una similitudine tra l'oscillazione di un sistema massa/molla e il moto circolare uniforme. Infatti l'elongazione della molla vale quanto l'ordinata $y_B(t)$ al tempo $t$.

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Possiamo dunque scrivere, conoscendo la definizione della funzione seno

\begin{equation} \label{1} \tag{1} y_B(t) = \sin(\omega t) \end{equation}

essendo $\omega = 2\pi / T$ la velocità angolare del moto armonico.

Un oscillatore viene detto armonico quando è soggetto a una forza che risponde alla legge di Hooke ($F=-kx$), ovvero è proporzionale allo spostamento ed è sempre di verso contrario ad esso.

In tal caso lo spostamento può essere descritto da una sinusoide (o volendo anche da una cosinusoide).

Come abbiamo visto nel corso di matematica, la $\eqref{1}$ può essere generalizzata al caso di un'onda con ampiezza $A$ e fase iniziale $\phi_0$:

\begin{equation} \label{2} \tag{2} y(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0) \end{equation}

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Questa animazione mostra ancora meglio le cose, un po' come se la molla potesse tracciare il suo movimento su un foglio che le scorre sotto.

Come abbiamo visto anche direttamente in laboratorio, la frequenza di oscillazione $f=1/T$ può essere aumentata in due modi:

- diminuendo la massa $m$ (c'è meno inerzia) - aumentando la costante della molla, di modo da avere una molla più rigida e quindi più forte.

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Cerchiamo ora la relazione esatta tra tutte le variabili in gioco.

Come già sappiamo, la forza elastica è una forza conservativa, pertanto esiste una forma di energia potenziale e l'energia meccanica è costante. Guardando questa animazione, osserviamo come un oscillatore armonico converta continuamente l'energia potenziale $U=\tfrac{1}{2}kx^2$ in energia cinetica $K=\tfrac{1}{2}mv^2$

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Quindi se indichiamo con $A$ l'ampiezza massima di oscillazione e con $v$ la velocità massima (che si ha nel punto di equilibrio) si può facilmente scrivere che, poichè l'energia in gioco è una costante (si conserva), l'energia cinetica massima $K=\tfrac{1}{2}mv^2$ è uguale all'energia potenziale massima $U=\tfrac{1}{2}kA^2$:

$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2 $$

da cui semplificando otteniamo la velocità massima di movimento:

$$ v = \sqrt{\frac{k}{m}}A $$

Ricorda anche che

L'energia di un'oscillazione è proporzionale al quadrato dell'ampiezza di oscillazione $A$.

Significa che, se qualcuno fa un fischio col fischietto, chi sta a distanza doppia lo sente con intensità pari a un quarto, chi sta a distanza tripla con intensità pari a un nono e così via.

Ora è tutto in discesa. Bisogna solo tener presente che la velocità massima $v$ è la stessa (costante) del moto circolare uniforme corrispondente al moto armonico considerato e che il raggio della circonferenza è uguale all'ampiezza massima di oscillazione $A$. Quindi:

$$ v = \frac{lungh. circonf.}{periodo} = \frac{2\pi A}{T} $$

Confrontando i due risultati abbiamo che

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

$$ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$

$$ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

che è in accordo con i fatti sperimentali, cioè che la frequenza aumenta con $k$ e diminuisce con $m$.

  • onde/oscillatore_armonico.txt
  • Ultima modifica: 2020/10/06 07:25
  • da Roberto Puzzanghera