Una regola di approssimazione

Dimostriamo la seguente regola di approssimazione, che vale quando $x$ è molto piccolo.

$$(1+x)^n \thickapprox 1+nx \qquad \text{per } x \thickapprox 0 \qquad \text{ed } n \text{ qualunque}$$

Infatti, per $x$ prossimo a zero, nell'intorno del valore $x=0$ possiamo approssimare la funzione $f(x) = (1+x)^n$ con l'equazione della retta tangente in quel punto:

$$f(x) \thickapprox f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0)$$

Ora tenendo conto che

$$\begin{array}{lcl} x_0=0 \\ f(x_0=0) = 1 \\ f'(x) = n(1+x)^{n-1} \\ f'(0) = n \end{array}$$

abbiamo:

$$f(x) \thickapprox 1 + nx$$

come volevasi dimostrare.