====== Una regola di approssimazione ======

{{ :funzione2.png|}}

Dimostriamo la seguente regola di approssimazione, che vale quando $x$ è molto piccolo.

$$ (1+x)^n \thickapprox 1+nx \qquad \text{per } x \thickapprox 0 \qquad \text{ed } n \text{ qualunque}$$

Infatti, per $x$ prossimo a zero, nell'[[intorno]] del valore $x=0$ possiamo approssimare la funzione $f(x) = (1+x)^n$ con l'[[tangente a una curva|equazione della retta tangente]] in quel punto:

$$ f(x) \thickapprox f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0) $$

Ora tenendo conto che

$$
\begin{array}{lcl}
x_0=0 \\
f(x_0=0) = 1 \\
f'(x) = n(1+x)^{n-1} \\
f'(0) = n
\end{array}
$$

abbiamo:

$$ f(x) \thickapprox 1 + nx $$

come volevasi dimostrare.

{{tag> matematica analisi}}