sviluppo_in_serie [wiki.sagredo.eu]

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====== Sviluppo in serie ======

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In [[una_regola_di_approssimazione|un'altra pagina]] avevamo visto che nell'intorno di un certo punto, una funzione continua e derivabile può essere approssimata con l'equazione della retta tangente in quel punto, quindi con un polinomio di grado $1$.

Volendo si può migliorare quanto si vuole l'accuratezza, approssimando la funzione data con un polinomio di grado $n$, con $n$ grande quanto si vuole. Con elementi di analisi matematica che studieremo all'università si può infatti dimostrare che una funzione continua in un [[intorno]] di $x_0$ e ivi infinitamente derivabile, può essere sviluppata in serie con la seguente **formula di Taylor**:

$$
f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!} (x-x_0)^n
$$

dove il simbolo $f^{(n)}$ indica la derivata di ordine $n$.

Se ci fermiamo al primo ordine, la funzione viene approssimata con la retta tangente:

$$
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)
$$

Al secondo ordine abbiamo una parabola:

\begin{equation}
\label{1}
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2
\end{equation}

notare come la concavità della parabola è dettata esclusivamente dal segno della derivata seconda $f''(x_0)$.

===== Esempio =====

Sviluppiamo in serie fino al secondo ordine, quindi con un polinomio di secondo grado, la funzione $f(x) = \cos x$ nell'intorno del punto $x_0=0$. La $\eqref{1}$ diventa

\begin{equation}
\label{2}
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2
\end{equation}

con

$$
f(0) = 1 \\
f'(0) = -\sin 0 = 0 \\
f''(0) = -cos 0 = -1 \\

\cos x \approx 1 -\frac{1}{2}x^2
$$

{{ :analisi:sviluppo_serie.png |Lo sviluppo in serie del coseno. Si vedono il polinomio di grado 1 (retta tangente) e il polinomio di grado 2 (parabola tangente)}}

Nella pagina sulla [[curvatura dello spazio-tempo]] era richiesto di sviluppare al secondo ordine la funzione 

$$
f(s) = y_0 \cos (s/R)
$$ 

nell'intorno di $s=0$, essendo $R$ e $y_0$ parametri costanti. Applicando $\eqref{2}$ si trova facilmente che 

$$
f(0) = y_0 \\
f'(0) = 0 \\
f''(0) = -y_0\frac{1}{2R^2} \\

f(s) = y_0 \cos (s/R) \approx y_0 \left (1-\frac{s^2}{2R^2} \right )
$$

{{tag>matematica analisi}}