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--- sviluppo_in_serie [10/03/2015 22:39] – Roberto Puzzanghera
+++ sviluppo_in_serie [10/03/2015 23:06] – Roberto Puzzanghera
@@ Linea 23: / Linea 23: @@
 Al secondo ordine abbiamo una parabola:
-$$
+\begin{equation}
+\label{1}
 f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2
-$$
+\end{equation}
 notare come la concavità della parabola è dettata esclusivamente dal segno della derivata seconda $f''(x_0)$.
+===== Esempio =====
+Sviluppiamo in serie fino al secondo ordine, quindi con un polinomio di secondo grado, la funzione $f(x) = \cos x$ nell'intorno del punto $x_0=0$. La $\eqref{1}$ diventa
+\begin{equation}
+\label{2}
+f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2
+\end{equation}
+con
+$$
+f(0) = 1 \\
+f'(0) = -\sin 0 = 0 \\
+f''(0) = -cos 0 = -1 \\
+\cos x \approx 1 -\frac{1}{2}x^2
+$$
+{{ :analisi:sviluppo_serie.png |Lo sviluppo in serie del coseno. Si vedono il polinomio di grado 1 (retta tangente) e il polinomio di grado 2 (parabola tangente)}}
+Nella pagina sulla [[curvatura dello spazio tempo]] era richiesto di sviluppare al secondo ordine la funzione
+$$
+f(s) = y_0 \cos (s/R)
+$$
+nell'intorno di $s=0$, essendo $R$ e $y_0$ parametri costanti. Applicando $\eqref{2}$ si trova facilmente che
+$$
+f(0) = y_0 \\
+f'(0) = 0 \\
+f''(0) = -y_0\frac{1}{2R^2} \\
+f(s) = y_0 \cos (s/R) \approx y_0 \left (1-\frac{s^2}{2R^2} \right )
+$$
 {{tag>matematica analisi}}