====== La relatività del tempo ====== Abbiamo imparato che la luce ha una velocità costante $c$ in tutti i [[sistema di riferimento inerziale|riferimenti inerziali]]. Ce lo impone il [[Principio di Relatività]] (PR). Questo fatto ha delle immediate conseguenze, che si intuiscono notando che eventi che risultano simultanei in un [[sistema di riferimento|riferimento]] non lo sono per un altro che si muove rispetto a questo. {{youtube>wteiuxyqtoM|La relatività della simultaneità}} ===== Il treno di Einstein ===== Einstein ci spiega la relatività del tempo con l'esempio del treno (vedere l’animazione su moodle). {{ :relativita:treno.jpg?300|}} {{ :relativita:orologio_luce.jpg?300|}} Come si vede ci sono due **orologi a luce** posti nel treno e nella casa. Vi è un raggio luminoso che "rimbalza" tra due specchi. Lo spazio tra i due specchi è vuoto, sicché la distanza tra di essi vale $c \Delta \tau$, essendo $\Delta \tau$ il tempo impiegato tra un tick e l’altro. Dal momento che $c$ è invariante, l'orologio a luce può essere considerato un orologio universale. ==== Il tempo proprio ==== $\Delta \tau$ è l’**intervallo di tempo che separa due [[evento|eventi]] che avvengono nello stesso luogo**: l’emissione e la ricezione avvengono nello stesso luogo perché in questo riferimento il raggio di luce va su e giù senza traslare. Questo tempo si chiama [[tempo proprio]]. ==== Ma perché l'orologio in moto è in ritardo rispetto a quello fermo? ==== Perché la luce deve percorrere, sempre alla stessa velocità (per il [[principio di relatività|PR]]), una distanza maggiore. L’effetto si inverte cambiando il sistema di riferimento. Ossia chi guarda le cose dal treno giudica più lento l’orologio posto sulla casa, e viceversa. Ma allora chi ha ragione? Hanno ragione entrambi. Fintanto che i due riferimenti sono [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]] vi è una simmetria tra di essi. Infatti sappiamo che due [[sistema di riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] sono indistinguibili. Ma allora il [[paradosso dei gemelli]] come si spiega? Quando i gemelli si incontrano dopo il viaggio, uno dei due è più vecchio dell'altro. Come si può spiegare questa rottura della simmetria? Per il momento diciamo che si parla di paradosso non perchè la relatività del tempo è fuori dal senso comune, ma in quanto è necessario dire per quale motivo i due non sono invecchiati allo stesso modo. ===== La relazione tra i tempi ===== Tornando a noi, calcoliamo la relazione tra i tempi misurati dai due osservatori. Noi siamo sulla casa e il treno si muove a velocità $v$. Dobbiamo misurare l’intervallo di tempo tra 2 eventi ben precisi: - Il raggio di luce dell’orologio posto sul treno in movimento parte dallo specchio superiore; - Lo stesso raggio giunge sullo specchio inferiore. Il nostro collega sul treno, chiamiamolo Albert, misura il tempo proprio $\Delta \tau$ tra i due tick. Ora guardiamo i due eventi dalla casa e misuriamo con il nostro orologio il tempo $\Delta t$ che li separa. {{ :relativita:dil_tempo.png?300 | }} Siccome l’orologio di Albert si muove col treno, noi vediamo la luce fare un tragitto a zig-zag come nella figura. Con il nostro orologio misurariamo il tempo $\Delta t$ che occorre alla luce per compiere il tragitto obliquo mostrato in rosso, e con il regolo misurariamo la distanza segnata in azzurro. Evidentemente dovremo avere che $\Delta t > \Delta \tau$ visto che il tratto obliquo è più lungo e viene percorso sempre a velocità $c$. Applicando il teorema di Pitagora si trova la legge della dilatazione tra i tempi: $$ (\color{Red}{c\Delta t})^2 = (\color{Green}{c\Delta \tau})^2 + (\color{Blue}{v\Delta t})^2 \\ $$ Che raccogliendo $\Delta t$ ci dà: $$ \implies \Delta t = \gamma \cdot \Delta \tau \qquad \text{con } \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \qquad \text{e } \quad \beta = \frac{v}{c} $$ $\gamma$ viene detto fattore di Lorentz. ===== Il fattore di Lorentz ===== Il fattore $\gamma(v)$, visto come una funzione matematica, ha significato $v 1$. A causa del valore molto elevato di $c$ esso è molto prossimo a $1$ per valori ordinari della velocità. In questi casi i tempi misurati sono praticamente identici. In altre parole è necessario utilizzare la relatività solo quando il rapporto $v/c$ è sensibilmente diverso da $0$, ovvero quando la velocità del moto è confrontabile con quella della luce (velocità relativistiche). Questo grafico mostra che anche per valori di $v < 10 \% c$ il fattore di Lorentz è prossimo a $1$ e si può continuare a usare la fisica classica. {{ :relativita:gamma.png?900 |}} È importante notare che per il [[principio di Relatività]] la luce ha la stessa velocità $c$ per entrambi i [[sistema di riferimento|riferimenti]]. ===== Ricapitolando ===== Abbiamo calcolato il [[tempo proprio]] di Albert $\Delta \tau$ attraverso una misura di tempo $c\Delta t$ e una misura di spazio $\Delta x = v \Delta t$. Avete capito bene. Per conoscere l’[[intervallo di tempo]] $\Delta \tau$ trascorso sul treno mi serve sia l’orologio che il regolo, devo cioè unire una misura di tempo con una di spazio. È una premonizione di quanto metterà in luce Minkowski con la sua descrizione dello [[spazio-tempo]] a 4 dimensioni. Ma è l’oggetto della prossima lezione, che servirà a spiegare il [[paradosso dei gemelli]]. Il paradosso è il seguente: * La relatività del tempo è conseguenza del fatto che esiste una velocità limite con cui si propagano i segnali e che questa velocità $c$ è costante in tutti i [[sistema di riferimento inerziale|riferimenti inerziali]]. * Ma perché allora quel dannato gemello è tornato più giovane? Dal riferimento dell'astronave è il gemello terrestre ad essersene andato con tutta la Terra appresso, quindi dovrebbe essere costui ad esser rimasto bambino. **Che cosa ha rotto questa simmetria?** ===== Film del PSSC: La velocità limite ===== Questo film mostra una prova sperimentale del fatto che $c$ è la velocità limite. {{youtube>ec2l_si9kLc?t=39s}} {{tag>fisica relatività}}