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potenza_del_continuo [19/10/2015 19:14] – [L'insieme $\mathbb{R}$ dei reali ha la potenza del continuo] Roberto Puzzanghera | potenza_del_continuo [05/01/2024 09:52] – [La scoperta dell'infinito] Roberto Puzzanghera |
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| ====== La scoperta dell'infinito ====== |
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| Tutti noi ricordiamo lo stupore provato da piccoli nell'esatto momento in cui abbiamo scoperto l'[[:potenza_del_numerabile|infinito numerabile]] (oggi lo chiamiamo //Aleph// $\aleph_0$). Intorno ai 7 anni d'età decisi di sfidare i numeri e presi a contare fino allo sfinimento, scandendo le enumerazioni con le oscillazioni della mia sedia a dondolo. Nell'arrendermi esausto presi atto dell'infinità dei numeri naturali. |
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| Allora non potevo sospettare che di infinito ne esistesse anche un altro, ancora più grande e "[[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|potente]]". L'infinito per me era uno solo. L'individuazione del suo "fratello maggiore" è infatti possibile solo con le capacità di astrazione che si maturano più avanti nell'età, intorno ai 14 anni, quando si diventa dei piccoli matematici, come siete voi oggi. |
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| Per la scoperta di questo nuovo infinito ci volle la mente di [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] (1845 – 1918). |
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====== Potenza del continuo ====== | ====== Potenza del continuo ====== |
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[[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]]. | [[http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Cantor]] fu autore di una delle conquiste più incredibili della matematica. Provò che non tutti gli insiemi hanno la [[:potenza_del_numerabile|potenza del numerabile]]. |
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Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]]. | Egli scoprì quello che lui stesso battezzò come $\aleph_1$ (aleph-uno), la **potenza del continuo**, una nuova e infinitamente più grande [[:cardinalita_o_potenza_di_un_insieme|cardinalità]]. |
Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]]. | Il numero di questi elementi è ovviamente infinito, ma la cosa importante è dimostrare che NON si possono [[:enumerare|enumerare]]. |
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Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo: | Ragionando per assurdo, se $[0; 1[$ fosse numerabile, potrei elencare i suoi elementi mettendoli in successione in questo modo: |
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${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$ | ${x_1; x_2; x_3; x_4;...}$ |
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In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia esauribile in questo modo: | In altre parole stiamo immaginando che l'insieme dei numeri reali che vanno da $0$ a $1$ sia così esauribile: |
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$x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$ | $x_1=0, a_{11} a_{12} a_{13} a_{14} a_{15} ...$ |
Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra. | Il numero $y$ è certamente un elemento dell'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$ diverso da tutti gli altri elementi elencati sopra. |
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Ne consegue che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto. | Ne consegue che non possiamo [[:potenza_del_numerabile|enumerare]] l'[[:intervallo|intervallo]] $[0; 1[$. Perciò dobbiamo ammettere che esiste una cardinalità superiore a quella del [[:potenza_del_numerabile|numerabile]], $%%\%%aleph_1$ per l'appunto. |
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====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ====== | ====== Ogni intervallo $[a; b[$ ha la potenza del continuo ====== |
{{:potenza_r.gif}} | {{:potenza_r.gif}} |
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Se da un punto fisso $P$ si cambia l'inclinazione della retta $p$ si legano con una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] i punti della retta $R^+$ con l'[[:intervallo|intervallo]] $[a; \frac{a+b}{2}[$. | Se da un punto fisso $P$ si cambia l'inclinazione della retta $p$ si legano con una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] i punti della retta $R^+$ con quelli dell'[[:intervallo|intervallo]] $[a; \frac{a+b}{2}[$. |
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Analogamente se da un punto fisso $Q$ si varia l'inclinaziobne di $q$ mostra si ha una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] tra $R^-$ e l'[[:intervallo|intervallo]] $[\frac{a+b}{2}; b[$. | Analogamente se da un punto fisso $Q$ si varia l'inclinaziobne di $q$ si stabilisce una [[:corrispondenza_biunivoca|corrispondenza biunivoca]] tra $R^-$ e l'[[:intervallo|intervallo]] $[\frac{a+b}{2}; b[$. |
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Abbiamo dimostrato che **$R$ ha la potenza del continuo**. | Abbiamo dimostrato che **$R$ ha la potenza del continuo**. |