====== Potenza dei numeri razionali ======

Per quanto possa sembrare paradossale l'[[numeri razionali|insieme $Q$]] è [[potenza del numerabile|numerabile]]. 

La dimostrazione portata a suo tempo da [[http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor|Georg Cantor]] è tutto sommato molto semplice. Si tratta di provare che tutti i [[numeri razionali]] possono essere [[enumerare|numerati]], quindi esauriti mettendoli in successione dal primo fino all'ultimo (anche se non in ordine crescente) cosicchè possiamo //chiamarli// tutti: fuori il primo, fuori il secondo, fino all'ultimo...

Nello schema della figura seguente, lungo le diagonali sono posti i numeri $p/q$ aventi la stessa **altezza**, cioè tali che la somma tra denominatore e numeratore sia costante. Ad esempio $4/1,  3/2,  2/3,  1/4$ sono i numeri con altezza $5$.

Si vede che percorrendo la matrice nel senso delle frecce, tutti i numeri vengono considerati. Arrivati alla fine di una diagonale si aumenta in orizzontale il denominatore oppure in verticale il numeratore.

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=====  Pagine correlate  =====

  * [[Numeri razionali]]
  * [[Numeri reali]]
  * [[Cardinalità o potenza di un insieme]]
  * [[Potenza del numerabile]]
  * [[Potenza del continuo]]

{{tag>matematica algebra insiemi}}