====== Onde stazionarie ======

In laboratorio abbiamo prodotto **onde stazionarie** su una molla e in tubo di Kundt, del quale questa è una immagine dove si vedono chiaramente cinque ventri con i quattro nodi tra di essi:

{{video:tubo_di_kundt_2.mp4|800x450}}

{{:onde:tubo_kundt.jpg?1100|Tubo di Kundt}}

Possiamo richiamare questi esperimenti con i seguenti filmati:

{{youtube>qUiB_zd9M0k|Tubo di Kundt}}

//

{{youtube>xwm8Ecq1LF0|Onde stazionarie su una corda}}

//

Un'**onda stazionaria** è data dalla sovrapposizione dell'onda incidente con quella riflessa.

{{url>https://www.geogebra.org/classic/jbeCtgzx 1200,900 noborder}}

~ [[http://files.sagredo.eu/ggb/onde/standing_wave_as_a_result_of_reflection.ggb|Scarica file ggb]] ~

Naturalmente la lunghezza d'onda $\lambda$ dei **modi di vibrazione** (o **armoniche**) si può determinare con la seguente regola:

\begin{equation}
\label{3}
\lambda_n = \frac{2L}{n} con\ n \in \mathbb{N}
\end{equation}

dove $n$ è la lunghezza della corda, o lo spazio dove è confinata l'onda.

Ad esempio, questa è la terza **armonica** su una corda:

{{:onde:armonica.png?600|Onda armonica}}

Questa bella animazione consente di costruire le varie armoniche su una corda in grado di oscillare

{{url>https://www.geogebra.org/classic/MqgzgsXt 1000,500 noborder}}

~ [[http://files.sagredo.eu/ggb/onde/modi_di_vibrazione.ggb|Scarica file ggb]] ~

===== Risonanza =====

Le oscillazioni in un'onda stazionaria possono determinare un consistente aumento dell'energia dell'onda se sollecitate da una forza esterna che ha la stessa frequenza di vibrazione dell'onda (**risonanza**). E' il caso del tubo di Kundt visto sopra, ma anche delle oscillazioni che hanno distrutto il [[https://it.wikipedia.org/wiki/Ponte_di_Tacoma|Ponte di Tacoma]] (USA).

{{youtube>lXyG68_caV4|Tacoma Narrows Bridge}}

===== L'equazione dell'onda stazionaria =====

Grazie alla prima applet in questa pagina abbiamo intuito che l'onda stazionaria è il risultato della sovrapposizione tra l'onda incidente e l'onda riflessa, che viaggia in senso opposto. Ci proponiamo ora di trovare l'equazione dell'onda risultante, dimostrando che **in ogni punto $x$ l'ampiezza non varia con il tempo $t$**.

Dobbiamo scrivere le equazioni delle due onde e poi sommarle secondo il [[onde:interferenza_e_battimenti|principio di sovrapposizione]].

**L'onda che viaggia verso destra** ha fase iniziale $\phi_0 = 0$:

$$ y(x,t) = A \sin(\omega t -kx) $$

L'onda riflessa viaggia verso sinistra, quindi bisogna scambiare $x$ con $-x$. Inoltre, come si vede sempre dalla prima applet  in questa pagina, viene riflessa "capovolta" (perchè l'estremo destro non si muove), dunque ha una fase iniziale $\phi_0 = \pi$.

Quindi l'**equazione dell'onda riflessa** è:

$$ y(x,t) = A \sin(\omega t +kx +\pi) $$

Dal corso di goniometria ([[archi associati]]) sappiamo però che 

$$ \sin (\alpha +\pi) = -\sin\alpha $$

dunque l'**equazione dell'onda riflessa** può essere semplificata in questo modo:

$$ y(x,t) = - A \sin(\omega t +kx) $$

Ora le facciamo interferire sommandole, per trovare quella che è l'onda risultante:

$$ y(x,t) =  A \sin(\omega t -kx) - A \sin(\omega t +kx) $$

Ci serve la [[formula di prostaferesi]]

$$ \sin p - \sin q = 2\sin\frac{p-q}{2} \cos\frac{p+q}{2} $$

Pertanto abbiamo:

$$
y(x,t) = \color{blue} {2A \sin(kx)} \color{red} {\cos(\omega t)}
$$

Il termine indicato in blu è l'ampiezza. Si vede che é  **modulata** secondo una funzione $seno$ e non dipende dal tempo. Agli estremi vale $0$ perchè la corda è fissa in quei punti. La parte in rosso rappresenta la legge secondo cui ogni punto $x$ vibra con il tempo $t$.

I nodi sono i punti con ampiezza di vibrazione nulla, quindi:

$$
\sin(kx) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad kx = n\pi \qquad \Rightarrow  \qquad x = n\frac{\lambda}{2}
$$

ovvero vi sono dei nodi ogni mezza lunghezza d'onda.

Siccome l'ampiezza si annulla per $x=0$ e $x=L$ ($L$ lunghezza della corda, o del ponte, o dell'oscillatore considerato) e la funzione $seno$ si annulla per gli archi di $n\pi \ con\ n \in \mathbb{N}$, possiamo scrivere, per $x=L$

$$
\begin{cases}
\sin(kL) =0 \implies kL = n\pi \\
k = \dfrac{2\pi}{\lambda}
\end{cases}
$$

confermando la legge ($\ref{3}$) anche dal punto di vista teorico:

$$
\lambda = \frac{2L}{n} \ con\ n \in \mathbb{N}
$$

ovvero la legge che stabilisce i modi di vibrazione di un'onda stazionaria.
\\

{{tag>fisica meccanica onde oscillazioni}}