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--- numeri_reali [28/01/2018 17:45] – [I numeri reali] Roberto Puzzanghera
+++ numeri_reali [19/12/2025 18:58] (versione attuale) – [Radice di 2 dimostra di essere irrazionale] Roberto Puzzanghera
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+====== I numeri reali ======
+Come abbiamo visto l'insieme $Q$ dei [[numeri razionali]] è [[Insieme denso|denso]]; ciò significa che, ordinandoli su una retta, la differenza tra un punto e il successivo è tendente a zero. Quindi la retta $r$ su cui li rappresentiamo deve essere disegnata in modo continuo così:
+{{:insieme_denso2.gif?nolink|}}
+**Domanda**: ai punti della retta corrisponde sempre un [[numeri razionali|numero razionale]] oppure no? In altre parole: esitono su questa retta dei numeri che non possono essere rappresentati come delle frazioni? Ci sono altri numeri oltre ai razionali? Certamente sì; osserviamo questa figura e togliamoci ogni dubbio:
+{{:esistenza_rad2_duplicazione_quadrato.gif|}}
+Il numero $\sqrt{2}$ esiste, come esiste la diagonale del quadrato di lato 1, e come esiste il lato del quadrato di area 2.
+Quindi i [[numeri razionali|razionali]], pur formando un [[insieme denso]], non ricoprono tutta la retta dei numeri. Si dice che $Q$ non è [[Insieme completo|completo]].
+Però dobbiamo ancora provare che questo nuovo numero $\sqrt{2}$ non è annoverabile tra i [[numeri razionali|razionali]], ossia non può essere scritto come un rapporto tra [[numeri interi|interi]] $\frac {p}{q}$.
+===== Radice di 2 dimostra di essere irrazionale =====
+E come fa a dimostrare di essere di una natura diversa da tutti i [[numeri razionali|razionali]]? Vediamo: ragioniamo per assurdo, ovvero dimostriamo che è impossibile negare la tesi. Se ci riusciamo, saremo autorizzati ad ammetterne la validità.
+Quindi supponiamo per assurdo che $\sqrt{2}$ sia razionale. Ciò significa che lo possiamo scrivere come una frazione, che immaginiamo già semplificata ai minimi termini: $\frac {p}{q}=\sqrt{2}$
+Qui $p$ e $q$ sono due numeri interi. Non possono essere entrambi pari perchè abbiamo detto che la frazione è ridotta ai minimi termini (ho già semplificato un eventuale fattore 2).
+Pertanto solo una delle 3 eventualità è possibile:
+  - sono entrambi dispari
+  - $p$ è dispari e $q$ è pari
+  - $p$ è pari e $q$ è dispari
+Riscriviamo la formula $\frac {p}{q}=\sqrt{2}$ in quest'altro modo equivalente:
+$p^2 =2 q^2$
+Questo dimostra che il numero $p$ al quadrato è pari, visto che è multiplo di 2. Ma allora anche $p$ è pari, dato che il quadrato di un dispari è dispari e il quadrato di un pari è pari. Allora delle 3 precedenti solo l'ultima può essere vera, ovvero $p$ pari e $q$ dispari.
+Ma se $p$ è pari allora può essere riscritto come il doppio di un numero $n$: $p=2n$.
+Riscriviamo la formula di sopra ora che $p=2n$:
+$4n^2=2q^2$
+semplifichiamo:
+$q^2=2n^2$
+il che prova che anche $q$ è pari. Pertanto anche la 3 è falsa.
+Siamo giunti alla conclusione che supporre di poter scrivere $\frac {p}{q}=\sqrt{2}$ è sbagliato, quindi $\sqrt{2}$ è [[numeri irrazionali|irrazionale]].
+==== ...e ce ne sono anche infiniti altri ====
+A partire dal numero $\sqrt{2}$ si possono costruire altri numeri [[numeri irrazionali|irrazionali]], come mostra questa figura:
+{{:esistenza_altri_irrazionali.gif|}}
+Con una dimostrazione del tutto analoga alla precedente si può dimostrare che anche $\sqrt{3}, \sqrt{5}$ ecc. sono [[numeri irrazionali|irrazionali]]. Prova tu a dimostrare l'irrazionalità di $\sqrt{3}$!
+Si può dimostrare, ma con una matematica superiore, per esempio che i nonstri numeri preferiti $\pi$ e $e$ sono irrazionali. Ecco una bellissima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$:
+{{youtube>Lk_QF_hcM8A|L'irrazionalità di $\pi$}}
+===== I numeri reali =====
+L'unione dei numeri [[numeri razionali|razionali]] e dei numeri [[numeri irrazionali|irrazionali]] forma l'insieme dei **numeri reali**, che indicheremo con il simbolo $R$ o $\mathbb{R}$
+I reali contengono al loro interno i [[numeri razionali|razionali]]:
+{{:diagramma_di_venn_dei_numeri.gif|}}
+Vedremo i [[numeri complessi]] in seguito. Per ora basta anticipare che anche nell'insieme $R$ c'è un'operazione che non ha significato, ovvero la radice con indice pari dei numeri negativi. L'insieme dei [[numeri complessi]] darà un significato anche a operazioni quali $\sqrt{-1}$.
+===== Proprietà dell'insieme $R$ =====
+Riassumendo, l'insieme dei numeri reali gode delle seguenti proprietà (ce ne sono anche altre a dire la verità, ma noi ci fermiamo qui):
+  * è [[insieme denso|denso]]
+  * è [[insieme completo|completo]]
+  * è [[proprieta di chiusura di un insieme|chiuso]] rispetto alle quattro operazioni aritmetiche (tranne che per la divisione per lo zero) e alla radice di indice pari e dispari.
+===== Definizione di numero reale =====
+Ogni **numero reale** può essere definito come l'elemento separatore tra due [[classi contigue di numeri|classi contigue]] di [[numeri razionali]].
+===== Pagine correlate =====
+  * [[Numeri irrazionali]]
+  * [[Potenza del continuo]]
+{{tag>matematica insiemi algebra "insiemi numerici"}}