====== I numeri razionali ======

Un **numero razionale** è dato dal rapporto $p/q$ tra due [[numeri interi]]. In sostanza si tratta delle **frazioni** che, espresse sotto forma di numero decimale, si presentano con **un numero finito di cifre dopo la virgola oppure con un numero infinito di cifre periodiche**. La parola //razionale// deriva dall'inglese //ratio//, che infatti significa rapporto.

Ci riferiremo d'ora in poi all'insieme dei numeri razionali con il simbolo $Q$ o $\mathbb Q$.

L'insieme $Q$ ci consente di eseguire le divisioni tra i [[numeri interi]], operazione non sempre possibile in $Z$. Come puoi ben immaginare la divisione tra interi è necessaria nel momento in cui si vogliono rapportare grandezze fisiche o geometriche a una data unità di misura, ad esempio quando desideriamo misurare un segmento utilizzandone un altro come unità di misura (il metro, il centimentro ad es.).

===== Alcune proprietà dell'insieme $Q$ =====

  * L'insieme $Q$ è [[proprieta di chiusura di un insieme|chiuso]] rispetto alle operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Invece la radice //non// è un'operazione [[operazione interna|interna]], perchè non sempre la radice di un razionale produce un nuovo razionale.
  * L'insieme $Q$ è [[Insieme denso|denso]].
  * L'insieme $Q$ è [[insieme numerabile|numerabile]] (vedi la [[potenza dei numeri razionali|dimostrazione]]).

=== $Q$ è denso in sè ===

Prendiamo due numeri razionali a piacere; scegliamoli in modo che siano molto vicini, per esempio $6,54320$ e $6,54321$. Sono razionali perchè li sappiamo convertire in frazione. Per quanto vicini essi siano, possiamo sempre trovare un nuovo numero razionale compreso fra essi, ad esempio $6,543201$:

$$6,54320<6,543201<6,54321$$

Questo lo possiamo fare per ogni coppia di numeri razionali distinti; se proviamo quindi a rappresentare $Q$ sulla retta, i suoi elementi sono così fitti che non posso pensare che ci sia posto tra uno e l'altro, perchè presi due di essi ne troviamo sempre uno intermedio. Pertanto li rappresentiamo tracciando una retta senza staccare la penna dal foglio:

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=== $Q$ è denso in $R$ ===

L'insieme $Q$ è anche denso in $R$ ([[densità di Q in R|vedasi qui la dimostrazione]]). Ciò significa che tra due [[numeri reali]] c'è sempre almeno un numero razionale, quindi gli elementi di $Q$ **non** sono [[punto isolato|isolati]].

=== $Q$ non è nè discreto nè continuo ===

Dal momento che gli elementi di $Q$ non sono [[punto isolato|isolati]], esso **non** è un [[insieme discreto]]. Ciò non significa però che esso sia un [[insieme continuo]], infatti gli manca il requisito della [[insieme completo|completezza]]. Dunque $Q$ non è nè [[insieme discreto|discreto]] nè [[insieme continuo|continuo]]. Incredibile dictu!8-O

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