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Come sappiamo l'insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione (e nemmeno rispetto alla divisione). Ciò significa che la sottrazione tra due naturali non è sempre un numero naturale. Ma come dare significato allora a temperature inferiori allo zero, oppure ai piani sotterranei di un edificio? Per fare questo siamo soliti far riferimento ad una categoria di numeri che stanno al di fuori dell'insieme dei naturali, numeri dotati di segno negativo:
$\{... -5, -4, -3, -2, -1 \}$
L'insieme $Z$ (o $\mathbb{Z}$) dei numeri interi è quindi l'unione dei naturali $N=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5... \}$ e dell'insieme $\{\ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5\ ... \}$:
$Z=\{... -5, -4, -3, -2, -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \ ... \}$
L'insieme dei numeri interi è quindi definito come ampliamento dell'insieme $N$ dei numeri naturali affinché esso sia chiuso rispetto alla sottrazione.
L'insieme dei numeri naturali $N$ è un sottoinsieme dell'insieme $Z$:
$N \subset Z$
L'insieme $Z$ è chiuso rispetto alla somma, alla sottrazione e alla moltiplicazione.