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--- il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:22] – [Il destino dell'universo] Roberto Puzzanghera
+++ il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:47] – [Il destino dell'universo] Roberto Puzzanghera
@@ Linea 215: / Linea 215: @@
 \end{equation}
-L'1 a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$:
+L'$1$ a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$:
 \begin{equation}
@@ Linea 263: / Linea 263: @@
 ==== Il destino dell'universo ====
-Sfruttando la $\eqref{20}$, l'equazione $\eqref{20}$ si può scrivere
+Sfruttando la $\eqref{19}$, l'equazione $\eqref{12}$ si può scrivere
 \begin{equation}
@@ Linea 276: / Linea 276: @@
 \dot R^2 = H^2_0 (1-\Omega)
 \end{equation}
+Se $\Omega <1$ ($\rho_0>\rho_c$, geometria iperbolica) l'universo finirà con una velocità finita diversa da zero. L'universo ha più energia cinetica che potenziale. \\
+Se $\Omega >1$ ($\rho_0<\rho_c$, geometria sferica) la velocità di espansione $\dot R$ diventerà zero prima che il raggio sia infinito e quindi ricollasserà in una singolarità (lo chiamano Big Crunch) dove $R=0$. L'universo non ha sufficiente energia cinetica per evitare il collasso. \\
+Se $\Omega =1$ ($\rho_0=\rho_c$, geometria euclidea e spazio piatto) l'universo si espande fino ad avere un raggio infinito arrivando a questo stadio con una velocità nulla. Qui c'è una chiara analogia con la [[velocità di fuga]].
+In quest'ultimo caso ($\Omega=1$) abbiamo una soluzione della $\eqref{22}$ abbastanza semplice:
+\begin{equation}
+\label{24}
+\dot R^2 = \frac{\Omega H^2_0}{R}
+\end{equation}
+Prima di integrare e risolvere l'equazione differenziale è necessario estrarre la radice e separare le variabili $R$ e $t$:
+$$ \sqrt{R}dR = H_0 dt$$
+che è pronta ad essere integrata
+\begin{equation}
+\label{25}
+\int \sqrt{R}dR = H_0 \int dt \implies R = \left(\frac{3}{2}H_0 t\right)^\frac{2}{3}
+\end{equation}
+La dinamica di questi tre tipi di comportamento è schematizzata nella figura qui sotto:
 {{tag>fisica relatività cosmologia}}