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il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:22] – [Il destino dell'universo] Roberto Puzzanghera | il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:41] – [Entrano in gioco H e la densità critica] Roberto Puzzanghera |
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\end{equation} | \end{equation} |
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L'1 a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$: | L'$1$ a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$: |
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\begin{equation} | \begin{equation} |
==== Il destino dell'universo ==== | ==== Il destino dell'universo ==== |
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Sfruttando la $\eqref{20}$, l'equazione $\eqref{20}$ si può scrivere | Sfruttando la $\eqref{19}$, l'equazione $\eqref{20}$ si può scrivere |
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\begin{equation} | \begin{equation} |
\dot R^2 = H^2_0 (1-\Omega) | \dot R^2 = H^2_0 (1-\Omega) |
\end{equation} | \end{equation} |
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| Se $\Omega <1$ ($\rho_0>\rho_c$, geometria iperbolica) l'universo finirà con una velocità finita diversa da zero. L'universo ha più energia cinetica che potenziale. \\ |
| Se $\Omega >1$ ($\rho_0<\rho_c$, geometria sferica) la velocità di espansione $\dot R$ diventerà zero prima che il raggio sia infinito e quindi ricollasserà in una singolarità (lo chiamano Big Crunch) dove $R=0$. L'universo non ha sufficiente energia cinetica per evitare il collasso. \\ |
| Se $\Omega =1$ ($\rho_0=\rho_c$, geometria euclidea e spazio piatto) l'universo si espande fino ad avere un raggio infinito arrivando a questo stadio con una velocità nulla. Qui c'è una chiara analogia con la [[velocità di fuga]]. |
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| In quest'ultimo caso ($\Omega=1$) abbiamo una soluzione della $\eqref{22}$ abbastanza semplice: |
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| \begin{equation} |
| \label{23} |
| \dot R^2 = \frac{\Omega H^2_0}{R} |
| \end{equation} |
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| Prima di integrare e risolvere l'equazione differenziale è necessario estrarre la radice e separare le variabili $R$ e $t$: |
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| $$ \sqrt{R}dR = H_0 dt$$ |
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{{tag>fisica relatività cosmologia}} | {{tag>fisica relatività cosmologia}} |