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--- il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:16] – [E ora dateci gli occhiali del fisico!] Roberto Puzzanghera
+++ il_modello_del_big_bang_dell_universo [16/04/2015 21:41] – [Entrano in gioco H e la densità critica] Roberto Puzzanghera
@@ Linea 215: / Linea 215: @@
 \end{equation}
-L'1 a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$:
+L'$1$ a sinistra è adimensionale, così, perchè l'equazione sia omogenea nelle dimensioni fisiche, lo devono essere anche gli altri termini. In particolare la quantità a denominatore della prima frazione ha le dimensioni di una densità. Per ragioni che chiariremo tra un attimo chiamiamola densità critica $\rho_c$:
 \begin{equation}
@@ Linea 263: / Linea 263: @@
 ==== Il destino dell'universo ====
+Sfruttando la $\eqref{19}$, l'equazione $\eqref{20}$ si può scrivere
+\begin{equation}
+\label{22}
+\dot R^2 = H^2_0 \left(\frac{\Omega}{R}+1-\Omega \right)
+\end{equation}
+Ora vediamo di farne il limite per $R \longrightarrow + \infty$ per capire cosa succederà nel futuro remoto. Il primo termine dentro la parentesi tende a zero, dunque possiamo stimare con quale velocità l'universo assumerà eventualmente un raggio infinito:
 \begin{equation}
-\label{20}
+\label{23}
-\dot R^2 = H^2_0 (\frac{\Omega}{R}+1-\Omega)
+\dot R^2 = H^2_0 (1-\Omega)
 \end{equation}
+Se $\Omega <1$ ($\rho_0>\rho_c$, geometria iperbolica) l'universo finirà con una velocità finita diversa da zero. L'universo ha più energia cinetica che potenziale. \\
+Se $\Omega >1$ ($\rho_0<\rho_c$, geometria sferica) la velocità di espansione $\dot R$ diventerà zero prima che il raggio sia infinito e quindi ricollasserà in una singolarità (lo chiamano Big Crunch) dove $R=0$. L'universo non ha sufficiente energia cinetica per evitare il collasso. \\
+Se $\Omega =1$ ($\rho_0=\rho_c$, geometria euclidea e spazio piatto) l'universo si espande fino ad avere un raggio infinito arrivando a questo stadio con una velocità nulla. Qui c'è una chiara analogia con la [[velocità di fuga]].
+In quest'ultimo caso ($\Omega=1$) abbiamo una soluzione della $\eqref{22}$ abbastanza semplice:
+\begin{equation}
+\label{23}
+\dot R^2 = \frac{\Omega H^2_0}{R}
+\end{equation}
+Prima di integrare e risolvere l'equazione differenziale è necessario estrarre la radice e separare le variabili $R$ e $t$:
+$$ \sqrt{R}dR = H_0 dt$$
 {{tag>fisica relatività cosmologia}}