dinamica_cosmologica

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Linea 7: Linea 7:
 \end{equation} \end{equation}
  
-Quindi se ad esempio $z=4$ l'universo era $5$ volte più piccolo quando la radiazione è stata emessa, quindi ecco perchè lo si potrebbe anche chiamare //fattore di scala//. Certo, se si trattasse di un universo sferico potremmo ben chiamarlo raggio dell'universo.+Quindi se ad esempio $z=4$ l'universo era $5$ volte più piccolo quando la radiazione è stata emessaecco perchè lo si potrebbe anche chiamare //fattore di scala//. Certo, se si trattasse di un universo sferico potremmo ben chiamarlo raggio dell'universo.
  
 ===== Doveroso maniavantismo iniziale ===== ===== Doveroso maniavantismo iniziale =====
Linea 13: Linea 13:
 Le vere equazioni di Einstein non sono quelle che stiamo andando a scrivere. Per farlo ci vorrebbe una matematica universitaria molto complessa. Scriveremo un qualcosa che vi assomiglia un po' e che abbia una lettura non dissimile, ma la dimostrazione che faremo noi non sarà molto rigorosa; servirà solo per dare un minimo di giustificazione a una formula. **Ciò non significa però che le vere equazioni non abbiano un solido basamento teorico**. Le vere equazioni di Einstein non sono quelle che stiamo andando a scrivere. Per farlo ci vorrebbe una matematica universitaria molto complessa. Scriveremo un qualcosa che vi assomiglia un po' e che abbia una lettura non dissimile, ma la dimostrazione che faremo noi non sarà molto rigorosa; servirà solo per dare un minimo di giustificazione a una formula. **Ciò non significa però che le vere equazioni non abbiano un solido basamento teorico**.
  
-Ci devono essere chiari i nostri obiettivi: a noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all'evoluzione passata e futura del nostro universo, essendo consapevoli dei limiti della teoria a causa delle misure incerte di $H$ e della densità media dell'universo $\rho$. C'è anche da dire che quei pazzerelli dei fisici teorici ne inventano una al giorno e le cose che diciamo qui andrebbero ancor di più prese con le... pinze? le molle? non mi ricordo più come si dice, ma ci siamo capiti. Insomma la teoria dell'universo inflazionario, la scoperta della materia oscura e dell'energia oscura sono cose che nel corso di questi ultimi anni hanno rivisto, e non di poco, la teoria classica del Big Bang, che è quella di cui cerchiamo di parlare qui e che è la sola di cui si può parlare in una classe di liceo.+Ci devono essere chiari **i nostri obiettivi**: a noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all'evoluzione passata e futura del nostro universo, essendo consapevoli dei limiti della teoria a causa delle misure incerte di $H$ e della densità media dell'universo $\rho$. C'è anche da dire che quei pazzerelli dei fisici teorici ne inventano una al giorno e le cose che diciamo qui andrebbero ancor di più prese con le... pinze? le molle? non mi ricordo più come si dice, ma ci siamo capiti. Insomma la teoria dell'universo inflazionario, la scoperta della materia oscura e dell'energia oscura sono cose che nel corso di questi ultimi anni hanno rivisto, e non di poco, la teoria classica del Big Bang, che è quella di cui cerchiamo di parlare qui e che è la sola di cui si può parlare in una classe di liceo.
  
-Ma ora basta con le ciance, spegnere i cellulari, abbassiamo le luci e iniziamo.+Ma ora basta con le ciance, spegnete i cellulari, abbassiamo le luci e iniziamo.
  
 ===== Notazione usata ===== ===== Notazione usata =====
Linea 37: Linea 37:
 ===== Le equazioni di evoluzione ===== ===== Le equazioni di evoluzione =====
  
-Come detto prima vogliamo teorizzare su come possa esser fatta la funzione $R(t)$. Con la dicitura "equazioni di evoluzione" intendiamo proprio le equazioni che involvono (è un inglesismo o si può dire? correggerò...) $R(t)$ e le sue derivate.+Come detto prima vogliamo teorizzare su come possa esser fatta la funzione $R(t)$. Con la dicitura "equazioni di evoluzione" intendiamo proprio le equazioni che involvono (è un inglesismo o si può dire? corriggerò...) $R(t)$ e le sue derivate.
  
 {{ :relativita:comoventi.png?350|}} {{ :relativita:comoventi.png?350|}}
Linea 48: Linea 48:
 $$ $$
  
-Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante per via del [[Principio Cosmologico]]. Scriviamo però l'accelerazione $a$ come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo e semplifichiamo $m$:+Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante ([[Principio Cosmologico]]). Scriviamo però l'accelerazione $a$ come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo e semplifichiamo $m$:
  
 $$ $$
Linea 68: Linea 68:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{2} \label{2}
 +\tag{2}
 \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r
 \end{equation} \end{equation}
Linea 74: Linea 75:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{3}
 \label{3} \label{3}
 r=R ~\theta r=R ~\theta
Linea 91: Linea 93:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{4}
 \label{4} \label{4}
 \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R
Linea 105: Linea 108:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{5} \label{5}
 +\tag{5}
 \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 112: Linea 116:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{6} \label{6}
 +\tag{6}
 \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 131: Linea 136:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{7} \label{7}
 +\tag{7}
 \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R
 \end{equation} \end{equation}
Linea 142: Linea 148:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{8} \label{8}
 +\tag{8}
 \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 155: Linea 162:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{9} \label{9}
 +\tag{9}
 \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 162: Linea 170:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{10} \label{10}
 +\tag{10}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost
 \end{equation} \end{equation}
Linea 171: Linea 180:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{11} \label{11}
 +\tag{11}
 \begin{cases} \begin{cases}
  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\
Linea 182: Linea 192:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{12} \label{12}
 +\tag{12}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2
 \end{equation} \end{equation}
  
-==== Entrano in gioco H e la densità critica ====+==== Entrano in gioco $He la densità critica ====
  
 Le cose si semplificano se teniamo conto di come si può scrivere la costante di Hubble: Le cose si semplificano se teniamo conto di come si può scrivere la costante di Hubble:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{H}+\label{12.1} 
 +\tag{12.1}
 H = \frac{\dot R}{R} H = \frac{\dot R}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 198: Linea 210:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{13} \label{13}
 +\tag{13}
 H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 205: Linea 218:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{14} \label{14}
 +\tag{14}
 H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 212: Linea 226:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{15} \label{15}
 +\tag{15}
 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 219: Linea 234:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{16} \label{16}
 +\tag{16}
 \rho_c = 3H^2_0/8\pi G \rho_c = 3H^2_0/8\pi G
 \end{equation} \end{equation}
Linea 226: Linea 242:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{17} \label{17}
 +\tag{17}
 \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 233: Linea 250:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{18} \label{18}
 +\tag{18}
 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 240: Linea 258:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{19} \label{19}
 +\tag{19}
 k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 259: Linea 278:
 \end{equation} \end{equation}
  
-Da questo si capisce l'importanza di conoscere la densità media dell'universo, che si può determinare stimando la massa delle galassie lontane e il numero medio di galassie per unità di volume. Nel contempo è necessario far luce anche sul problema della materia oscura e dell'energia oscura, attore quest'ultimo entrato nel palcoscenico della cosmologia molto di recente. La partita si gioca non soltanto sulle scrivanie dei cosmologi, ma anche in quelle dei fisici teorici e sperimentali che si occupano rispettivamente di fare e verificare le teorie sulle particelle, la teoria delle strighe per esempio.+Da questo si capisce l'importanza di conoscere la densità media dell'universo, che si può determinare stimando la massa delle galassie lontane e il numero medio di galassie per unità di volume. Nel contempo è necessario far luce anche sul problema della materia oscura e dell'energia oscura, attore quest'ultimo entrato nel palcoscenico della cosmologia molto di recente. La partita si gioca non soltanto sulle scrivanie dei cosmologi, ma anche in quelle dei fisici teorici e sperimentali che si occupano rispettivamente di fare e verificare le teorie sulle particelle, la teoria delle stringhe per esempio.
  
 ==== Il destino dell'universo ==== ==== Il destino dell'universo ====
Linea 267: Linea 286:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{22} \label{22}
 +\tag{22}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 274: Linea 294:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{23} \label{23}
 +\tag{23}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 285: Linea 306:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{24} \label{24}
 +\tag{24}
 \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 300: Linea 322:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{25} \label{25}
 +\tag{25}
 \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\
 \implies  \implies 
Linea 325: Linea 348:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{rho_f}+\label{26} 
 +\tag{26}
 \rho_f = n\epsilon \rho_f = n\epsilon
 \end{equation} \end{equation}
Linea 332: Linea 356:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{n}+\label{27} 
 +\tag{27}
 n \propto \frac{1}{R^3} n \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 355: Linea 380:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{eps}+\label{28} 
 +\tag{28}
 \epsilon \propto \frac{1}{R} \epsilon \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
  
-Sostituendo la $\eqref{eps}$ e la $\eqref{n}$ nella $\eqref{rho_f}$ ne deduciamo che:+Sostituendo la $\eqref{28}$ e la $\eqref{27}$ nella $\eqref{26}$ ne deduciamo che:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{30} \label{30}
 +\tag{30}
 \rho_f \propto \frac{1}{R^4} \rho_f \propto \frac{1}{R^4}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 370: Linea 397:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{31} \label{31}
 +\tag{31}
 \rho_m \propto \frac{1}{R^3} \rho_m \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 383: Linea 411:
 Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l'universo è isotropo. Ma come facciamo a distinguere quei fotoni provenienti dal lontano Big Bang da quelli emessi da una stella qualunque? Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l'universo è isotropo. Ma come facciamo a distinguere quei fotoni provenienti dal lontano Big Bang da quelli emessi da una stella qualunque?
  
-Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l'energia media del fotone è legata alla temperatura $T$ del corpo che la emette (si dovrebbe dire "corpo nero", ma tralasciamo questo dettaglio) da una semplice relazione di proporzionalità:+Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l'energia media del fotone è legata alla temperatura $T$ del corpo che la emette (si dovrebbe dire "[[corpo nero]]", ma tralasciamo questo dettaglio) da una semplice relazione di proporzionalità:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{32} \label{32}
 +\tag{32}
 \epsilon = kT \epsilon = kT
 \end{equation} \end{equation}
  
-dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann.+dove $k$ è la costante di Boltzmann.
  
-Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{eps}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che:+Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{32}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{33} \label{33}
 +\tag{33}
 T \propto \frac{1}{R} T \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 427: Linea 457:
 ===== Riferimenti ===== ===== Riferimenti =====
  
-  - [[http://www.sagredo.eu/Q16/|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lezione 17]]+  - [[https://fabri.sagredo.eu/Q16/lez17.pdf|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lezione 17]]
   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_cosmica_di_fondo|La radiazione cosmica di fondo]]   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_cosmica_di_fondo|La radiazione cosmica di fondo]]
   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Cronologia_del_Big_Bang|Cronologia del Big bang]]   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Cronologia_del_Big_Bang|Cronologia del Big bang]]
  
 {{tag>fisica relatività cosmologia}} {{tag>fisica relatività cosmologia}}
  • dinamica_cosmologica.1437033519.txt.bz2
  • Ultima modifica: 16/07/2015 07:58
  • da Roberto Puzzanghera