dinamica_cosmologica

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dinamica_cosmologica [06/10/2020 07:24] – [Le equazioni di evoluzione] Roberto Puzzangheradinamica_cosmologica [20/02/2024 20:36] (versione attuale) – [Riferimenti] Roberto Puzzanghera
Linea 15: Linea 15:
 Ci devono essere chiari **i nostri obiettivi**: a noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all'evoluzione passata e futura del nostro universo, essendo consapevoli dei limiti della teoria a causa delle misure incerte di $H$ e della densità media dell'universo $\rho$. C'è anche da dire che quei pazzerelli dei fisici teorici ne inventano una al giorno e le cose che diciamo qui andrebbero ancor di più prese con le... pinze? le molle? non mi ricordo più come si dice, ma ci siamo capiti. Insomma la teoria dell'universo inflazionario, la scoperta della materia oscura e dell'energia oscura sono cose che nel corso di questi ultimi anni hanno rivisto, e non di poco, la teoria classica del Big Bang, che è quella di cui cerchiamo di parlare qui e che è la sola di cui si può parlare in una classe di liceo. Ci devono essere chiari **i nostri obiettivi**: a noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all'evoluzione passata e futura del nostro universo, essendo consapevoli dei limiti della teoria a causa delle misure incerte di $H$ e della densità media dell'universo $\rho$. C'è anche da dire che quei pazzerelli dei fisici teorici ne inventano una al giorno e le cose che diciamo qui andrebbero ancor di più prese con le... pinze? le molle? non mi ricordo più come si dice, ma ci siamo capiti. Insomma la teoria dell'universo inflazionario, la scoperta della materia oscura e dell'energia oscura sono cose che nel corso di questi ultimi anni hanno rivisto, e non di poco, la teoria classica del Big Bang, che è quella di cui cerchiamo di parlare qui e che è la sola di cui si può parlare in una classe di liceo.
  
-Ma ora basta con le ciance, spegnere i cellulari, abbassiamo le luci e iniziamo.+Ma ora basta con le ciance, spegnete i cellulari, abbassiamo le luci e iniziamo.
  
 ===== Notazione usata ===== ===== Notazione usata =====
Linea 48: Linea 48:
 $$ $$
  
-Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante per via del [[Principio Cosmologico]]. Scriviamo però l'accelerazione $a$ come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo e semplifichiamo $m$:+Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante ([[Principio Cosmologico]]). Scriviamo però l'accelerazione $a$ come derivata seconda di $r$ rispetto al tempo e semplifichiamo $m$:
  
 $$ $$
Linea 75: Linea 75:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{3}
 \label{3} \label{3}
 r=R ~\theta r=R ~\theta
Linea 92: Linea 93:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{4}
 \label{4} \label{4}
 \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R
Linea 106: Linea 108:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{5} \label{5}
 +\tag{5}
 \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 113: Linea 116:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{6} \label{6}
 +\tag{6}
 \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 132: Linea 136:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{7} \label{7}
 +\tag{7}
 \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R
 \end{equation} \end{equation}
Linea 143: Linea 148:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{8} \label{8}
 +\tag{8}
 \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 156: Linea 162:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{9} \label{9}
 +\tag{9}
 \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 163: Linea 170:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{10} \label{10}
 +\tag{10}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost
 \end{equation} \end{equation}
Linea 172: Linea 180:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{11} \label{11}
 +\tag{11}
 \begin{cases} \begin{cases}
  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\
Linea 183: Linea 192:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{12} \label{12}
 +\tag{12}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2
 \end{equation} \end{equation}
Linea 191: Linea 201:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{H}+\label{12.1} 
 +\tag{12.1}
 H = \frac{\dot R}{R} H = \frac{\dot R}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 199: Linea 210:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{13} \label{13}
 +\tag{13}
 H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 206: Linea 218:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{14} \label{14}
 +\tag{14}
 H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 213: Linea 226:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{15} \label{15}
 +\tag{15}
 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 220: Linea 234:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{16} \label{16}
 +\tag{16}
 \rho_c = 3H^2_0/8\pi G \rho_c = 3H^2_0/8\pi G
 \end{equation} \end{equation}
Linea 227: Linea 242:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{17} \label{17}
 +\tag{17}
 \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 234: Linea 250:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{18} \label{18}
 +\tag{18}
 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 241: Linea 258:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{19} \label{19}
 +\tag{19}
 k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 268: Linea 286:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{22} \label{22}
 +\tag{22}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 275: Linea 294:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{23} \label{23}
 +\tag{23}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 286: Linea 306:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{24} \label{24}
 +\tag{24}
 \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 301: Linea 322:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{25} \label{25}
 +\tag{25}
 \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\
 \implies  \implies 
Linea 326: Linea 348:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{rho_f}+\label{26} 
 +\tag{26}
 \rho_f = n\epsilon \rho_f = n\epsilon
 \end{equation} \end{equation}
Linea 333: Linea 356:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{n}+\label{27} 
 +\tag{27}
 n \propto \frac{1}{R^3} n \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 356: Linea 380:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
-\label{eps}+\label{28} 
 +\tag{28}
 \epsilon \propto \frac{1}{R} \epsilon \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
  
-Sostituendo la $\eqref{eps}$ e la $\eqref{n}$ nella $\eqref{rho_f}$ ne deduciamo che:+Sostituendo la $\eqref{28}$ e la $\eqref{27}$ nella $\eqref{26}$ ne deduciamo che:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{30} \label{30}
 +\tag{30}
 \rho_f \propto \frac{1}{R^4} \rho_f \propto \frac{1}{R^4}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 371: Linea 397:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{31} \label{31}
 +\tag{31}
 \rho_m \propto \frac{1}{R^3} \rho_m \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 384: Linea 411:
 Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l'universo è isotropo. Ma come facciamo a distinguere quei fotoni provenienti dal lontano Big Bang da quelli emessi da una stella qualunque? Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l'universo è isotropo. Ma come facciamo a distinguere quei fotoni provenienti dal lontano Big Bang da quelli emessi da una stella qualunque?
  
-Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l'energia media del fotone è legata alla temperatura $T$ del corpo che la emette (si dovrebbe dire "corpo nero", ma tralasciamo questo dettaglio) da una semplice relazione di proporzionalità:+Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l'energia media del fotone è legata alla temperatura $T$ del corpo che la emette (si dovrebbe dire "[[corpo nero]]", ma tralasciamo questo dettaglio) da una semplice relazione di proporzionalità:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{32} \label{32}
 +\tag{32}
 \epsilon = kT \epsilon = kT
 \end{equation} \end{equation}
  
-dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann.+dove $k$ è la costante di Boltzmann.
  
-Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{eps}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che:+Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{32}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{33} \label{33}
 +\tag{33}
 T \propto \frac{1}{R} T \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 428: Linea 457:
 ===== Riferimenti ===== ===== Riferimenti =====
  
-  - [[http://www.sagredo.eu/Q16/|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lezione 17]]+  - [[https://fabri.sagredo.eu/Q16/lez17.pdf|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lezione 17]]
   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_cosmica_di_fondo|La radiazione cosmica di fondo]]   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_cosmica_di_fondo|La radiazione cosmica di fondo]]
   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Cronologia_del_Big_Bang|Cronologia del Big bang]]   - [[http://it.wikipedia.org/wiki/Cronologia_del_Big_Bang|Cronologia del Big bang]]
  
 {{tag>fisica relatività cosmologia}} {{tag>fisica relatività cosmologia}}
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  • Ultima modifica: 20/02/2024 20:36
  • da Roberto Puzzanghera