dinamica_cosmologica

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Linea 7: Linea 7:
 \end{equation} \end{equation}
  
-Quindi se ad esempio $z=4$ l'universo era $5$ volte più piccolo quando la radiazione è stata emessa, quindi ecco perchè lo si potrebbe anche chiamare //fattore di scala//. Certo, se si trattasse di un universo sferico potremmo ben chiamarlo raggio dell'universo.+Quindi se ad esempio $z=4$ l'universo era $5$ volte più piccolo quando la radiazione è stata emessa; ecco perchè lo si potrebbe anche chiamare //fattore di scala//. Certo, se si trattasse di un universo sferico potremmo ben chiamarlo raggio dell'universo.
  
 ===== Doveroso maniavantismo iniziale ===== ===== Doveroso maniavantismo iniziale =====
Linea 68: Linea 68:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{2} \label{2}
 +\tag{2}
 \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r
 \end{equation} \end{equation}
Linea 74: Linea 75:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{3}
 \label{3} \label{3}
 r=R ~\theta r=R ~\theta
Linea 91: Linea 93:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
 +\tag{4}
 \label{4} \label{4}
 \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R
Linea 105: Linea 108:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{5} \label{5}
 +\tag{5}
 \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 112: Linea 116:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{6} \label{6}
 +\tag{6}
 \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 131: Linea 136:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{7} \label{7}
 +\tag{7}
 \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R
 \end{equation} \end{equation}
Linea 142: Linea 148:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{8} \label{8}
 +\tag{8}
 \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 155: Linea 162:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{9} \label{9}
 +\tag{9}
 \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR
 \end{equation} \end{equation}
Linea 162: Linea 170:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{10} \label{10}
 +\tag{10}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost
 \end{equation} \end{equation}
Linea 171: Linea 180:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{11} \label{11}
 +\tag{11}
 \begin{cases} \begin{cases}
  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\  k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\
Linea 182: Linea 192:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{12} \label{12}
 +\tag{12}
 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2
 \end{equation} \end{equation}
Linea 191: Linea 202:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{H} \label{H}
 +\tag{H}
 H = \frac{\dot R}{R} H = \frac{\dot R}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 198: Linea 210:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{13} \label{13}
 +\tag{13}
 H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 205: Linea 218:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{14} \label{14}
 +\tag{14}
 H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 212: Linea 226:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{15} \label{15}
 +\tag{15}
 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/8\pi G} - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 219: Linea 234:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{16} \label{16}
 +\tag{16}
 \rho_c = 3H^2_0/8\pi G \rho_c = 3H^2_0/8\pi G
 \end{equation} \end{equation}
Linea 226: Linea 242:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{17} \label{17}
 +\tag{17}
 \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 233: Linea 250:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{18} \label{18}
 +\tag{18}
 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 240: Linea 258:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{19} \label{19}
 +\tag{19}
 k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 267: Linea 286:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{22} \label{22}
 +\tag{22}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 274: Linea 294:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{23} \label{23}
 +\tag{23}
 \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega)
 \end{equation} \end{equation}
Linea 285: Linea 306:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{24} \label{24}
 +\tag{24}
 \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 300: Linea 322:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{25} \label{25}
 +\tag{25}
 \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\
 \implies  \implies 
Linea 326: Linea 349:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{rho_f} \label{rho_f}
 +\tag{fho_f}
 \rho_f = n\epsilon \rho_f = n\epsilon
 \end{equation} \end{equation}
Linea 333: Linea 357:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{n} \label{n}
 +\tag{n}
 n \propto \frac{1}{R^3} n \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 356: Linea 381:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{eps} \label{eps}
 +\tag{eps}
 \epsilon \propto \frac{1}{R} \epsilon \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 363: Linea 389:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{30} \label{30}
 +\tag{30}
 \rho_f \propto \frac{1}{R^4} \rho_f \propto \frac{1}{R^4}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 370: Linea 397:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{31} \label{31}
 +\tag{31}
 \rho_m \propto \frac{1}{R^3} \rho_m \propto \frac{1}{R^3}
 \end{equation} \end{equation}
Linea 387: Linea 415:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{32} \label{32}
 +\tag{32}
 \epsilon = kT \epsilon = kT
 \end{equation} \end{equation}
Linea 396: Linea 425:
 \begin{equation} \begin{equation}
 \label{33} \label{33}
 +\tag{33}
 T \propto \frac{1}{R} T \propto \frac{1}{R}
 \end{equation} \end{equation}
  • dinamica_cosmologica.txt
  • Ultima modifica: 20/02/2024 20:36
  • da Roberto Puzzanghera