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dinamica_cosmologica [06/10/2020 07:24] – [Le equazioni di evoluzione] Roberto Puzzanghera | dinamica_cosmologica [20/02/2024 20:20] – Roberto Puzzanghera | ||
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Linea 15: | Linea 15: | ||
Ci devono essere chiari **i nostri obiettivi**: | Ci devono essere chiari **i nostri obiettivi**: | ||
- | Ma ora basta con le ciance, | + | Ma ora basta con le ciance, |
===== Notazione usata ===== | ===== Notazione usata ===== | ||
Linea 48: | Linea 48: | ||
$$ | $$ | ||
- | Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante | + | Il meno è per via della forza attrattiva, che produce una decelerazione. Qui $M$ è la massa distribuita uniformemente nella sfera, fatta di polveri e stelle. La densità $\rho= M/V$ di materia è da supporsi costante |
$$ | $$ | ||
Linea 75: | Linea 75: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
+ | \tag{3} | ||
\label{3} | \label{3} | ||
r=R ~\theta | r=R ~\theta | ||
Linea 92: | Linea 93: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
+ | \tag{4} | ||
\label{4} | \label{4} | ||
\ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R | \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R | ||
Linea 106: | Linea 108: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{5} | \label{5} | ||
+ | \tag{5} | ||
\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} | \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 113: | Linea 116: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{6} | \label{6} | ||
+ | \tag{6} | ||
\ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} | \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 132: | Linea 136: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{7} | \label{7} | ||
+ | \tag{7} | ||
\dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R | \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 143: | Linea 148: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{8} | \label{8} | ||
+ | \tag{8} | ||
\dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR | \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 156: | Linea 162: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{9} | \label{9} | ||
+ | \tag{9} | ||
\int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR | \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 163: | Linea 170: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{10} | \label{10} | ||
+ | \tag{10} | ||
\dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost | \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 172: | Linea 180: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{11} | \label{11} | ||
+ | \tag{11} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\ | k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\ | ||
Linea 183: | Linea 192: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{12} | \label{12} | ||
+ | \tag{12} | ||
\dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 | \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 191: | Linea 201: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{H} | + | \label{12.1} |
+ | \tag{12.1} | ||
H = \frac{\dot R}{R} | H = \frac{\dot R}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 199: | Linea 210: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{13} | \label{13} | ||
+ | \tag{13} | ||
H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} | H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 206: | Linea 218: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{14} | \label{14} | ||
+ | \tag{14} | ||
H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} | H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 213: | Linea 226: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{15} | \label{15} | ||
+ | \tag{15} | ||
1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/ | 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/ | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 220: | Linea 234: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{16} | \label{16} | ||
+ | \tag{16} | ||
\rho_c = 3H^2_0/8\pi G | \rho_c = 3H^2_0/8\pi G | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 227: | Linea 242: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{17} | \label{17} | ||
+ | \tag{17} | ||
\Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} | \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 234: | Linea 250: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{18} | \label{18} | ||
+ | \tag{18} | ||
1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} | 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 241: | Linea 258: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{19} | \label{19} | ||
+ | \tag{19} | ||
k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) | k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 268: | Linea 286: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{22} | \label{22} | ||
+ | \tag{22} | ||
\dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) | \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 275: | Linea 294: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{23} | \label{23} | ||
+ | \tag{23} | ||
\dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) | \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 286: | Linea 306: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{24} | \label{24} | ||
+ | \tag{24} | ||
\dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} | \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 301: | Linea 322: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{25} | \label{25} | ||
+ | \tag{25} | ||
\int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ | \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ | ||
\implies | \implies | ||
Linea 326: | Linea 348: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{rho_f} | + | \label{26} |
+ | \tag{26} | ||
\rho_f = n\epsilon | \rho_f = n\epsilon | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 333: | Linea 356: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{n} | + | \label{27} |
+ | \tag{27} | ||
n \propto \frac{1}{R^3} | n \propto \frac{1}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 356: | Linea 380: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{eps} | + | \label{28} |
+ | \tag{28} | ||
\epsilon \propto \frac{1}{R} | \epsilon \propto \frac{1}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Sostituendo la $\eqref{eps}$ e la $\eqref{n}$ nella $\eqref{rho_f}$ ne deduciamo che: | + | Sostituendo la $\eqref{28}$ e la $\eqref{27}$ nella $\eqref{26}$ ne deduciamo che: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{30} | \label{30} | ||
+ | \tag{30} | ||
\rho_f \propto \frac{1}{R^4} | \rho_f \propto \frac{1}{R^4} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 371: | Linea 397: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{31} | \label{31} | ||
+ | \tag{31} | ||
\rho_m \propto \frac{1}{R^3} | \rho_m \propto \frac{1}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 384: | Linea 411: | ||
Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l' | Questa **radiazione di fondo** si chiama così perchè proviene da ogni direzione in egual misura (fino a una parte su $100.000$), a riprova del fatto che l' | ||
- | Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l' | + | Ci sono delle relazioni fisiche fuori dalla nostra portata (abbastanza semplici, ma non abbiamo il tempo), che dicono che l' |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{32} | \label{32} | ||
+ | \tag{32} | ||
\epsilon = kT | \epsilon = kT | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 393: | Linea 421: | ||
dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann. | dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann. | ||
- | Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{eps}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che: | + | Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{32}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{33} | \label{33} | ||
+ | \tag{33} | ||
T \propto \frac{1}{R} | T \propto \frac{1}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} |