Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisione Revisione precedente Prossima revisione | Revisione precedente Prossima revisioneEntrambe le parti successive la revisione | ||
dinamica_cosmologica [16/07/2015 07:58] – [Doveroso maniavantismo iniziale] Roberto Puzzanghera | dinamica_cosmologica [01/12/2021 16:31] – [Doveroso maniavantismo iniziale] Roberto Puzzanghera | ||
---|---|---|---|
Linea 7: | Linea 7: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Quindi se ad esempio $z=4$ l' | + | Quindi se ad esempio $z=4$ l' |
===== Doveroso maniavantismo iniziale ===== | ===== Doveroso maniavantismo iniziale ===== | ||
Linea 13: | Linea 13: | ||
Le vere equazioni di Einstein non sono quelle che stiamo andando a scrivere. Per farlo ci vorrebbe una matematica universitaria molto complessa. Scriveremo un qualcosa che vi assomiglia un po' e che abbia una lettura non dissimile, ma la dimostrazione che faremo noi non sarà molto rigorosa; servirà solo per dare un minimo di giustificazione a una formula. **Ciò non significa però che le vere equazioni non abbiano un solido basamento teorico**. | Le vere equazioni di Einstein non sono quelle che stiamo andando a scrivere. Per farlo ci vorrebbe una matematica universitaria molto complessa. Scriveremo un qualcosa che vi assomiglia un po' e che abbia una lettura non dissimile, ma la dimostrazione che faremo noi non sarà molto rigorosa; servirà solo per dare un minimo di giustificazione a una formula. **Ciò non significa però che le vere equazioni non abbiano un solido basamento teorico**. | ||
- | Ci devono essere chiari i nostri obiettivi: a noi interessa solo leggere queste equazioni con gli occhi e con gli occhiali di un fisico e cercare di capire cosa ci suggeriscono riguardo all' | + | Ci devono essere chiari |
- | Ma ora basta con le ciance, | + | Ma ora basta con le ciance, |
===== Notazione usata ===== | ===== Notazione usata ===== | ||
Linea 37: | Linea 37: | ||
===== Le equazioni di evoluzione ===== | ===== Le equazioni di evoluzione ===== | ||
- | Come detto prima vogliamo teorizzare su come possa esser fatta la funzione $R(t)$. Con la dicitura " | + | Come detto prima vogliamo teorizzare su come possa esser fatta la funzione $R(t)$. Con la dicitura " |
{{ : | {{ : | ||
Linea 68: | Linea 68: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{2} | \label{2} | ||
+ | \tag{2} | ||
\ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r | \ddot r = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ r | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 74: | Linea 75: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
+ | \tag{3} | ||
\label{3} | \label{3} | ||
r=R ~\theta | r=R ~\theta | ||
Linea 91: | Linea 93: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
+ | \tag{4} | ||
\label{4} | \label{4} | ||
\ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R | \ddot R = -\dfrac{4}{3}\pi G\rho ~ R | ||
Linea 105: | Linea 108: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{5} | \label{5} | ||
+ | \tag{5} | ||
\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} | \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{R^3_0}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 112: | Linea 116: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{6} | \label{6} | ||
+ | \tag{6} | ||
\ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} | \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 131: | Linea 136: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{7} | \label{7} | ||
+ | \tag{7} | ||
\dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R | \dot R \ddot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} \dot R | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 142: | Linea 148: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{8} | \label{8} | ||
+ | \tag{8} | ||
\dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR | \dot R \ddot R ~dt = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^2} ~dR | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 155: | Linea 162: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{9} | \label{9} | ||
+ | \tag{9} | ||
\int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR | \int \dot R ~d\dot R = -\frac{4}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \int \frac{1}{R^2} ~dR | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 162: | Linea 170: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{10} | \label{10} | ||
+ | \tag{10} | ||
\dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost | \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} + cost | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 171: | Linea 180: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{11} | \label{11} | ||
+ | \tag{11} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\ | k=0 \ \ \mbox{spazio euclideo piatto} \\ | ||
Linea 182: | Linea 192: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{12} | \label{12} | ||
+ | \tag{12} | ||
\dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 | \dot R^2 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R} - kc^2 | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | ==== Entrano in gioco H e la densità critica ==== | + | ==== Entrano in gioco $H$ e la densità critica ==== |
Le cose si semplificano se teniamo conto di come si può scrivere la costante di Hubble: | Le cose si semplificano se teniamo conto di come si può scrivere la costante di Hubble: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{H} | + | \label{12.1} |
+ | \tag{12.1} | ||
H = \frac{\dot R}{R} | H = \frac{\dot R}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 198: | Linea 210: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{13} | \label{13} | ||
+ | \tag{13} | ||
H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} | H^2 = \frac{\dot R^2}{R^2} = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 R^3_0 \cdot \frac{1}{R^3} - \frac{kc^2}{R^2} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 205: | Linea 218: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{14} | \label{14} | ||
+ | \tag{14} | ||
H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} | H^2_0 = \frac{8}{3} \pi G \rho_0 - \frac{kc^2}{R^2_0} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 212: | Linea 226: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{15} | \label{15} | ||
+ | \tag{15} | ||
1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/ | 1 = \frac{\rho_0}{3H^2_0/ | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 219: | Linea 234: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{16} | \label{16} | ||
+ | \tag{16} | ||
\rho_c = 3H^2_0/8\pi G | \rho_c = 3H^2_0/8\pi G | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 226: | Linea 242: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{17} | \label{17} | ||
+ | \tag{17} | ||
\Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} | \Omega = \frac{\rho_0}{\rho_c} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 233: | Linea 250: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{18} | \label{18} | ||
+ | \tag{18} | ||
1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} | 1 = \Omega - \frac{kc^2}{R^2_0 H^2_0} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 240: | Linea 258: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{19} | \label{19} | ||
+ | \tag{19} | ||
k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) | k = \dfrac{R^2_0 H^2_0}{c^2} (\Omega -1) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 259: | Linea 278: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Da questo si capisce l' | + | Da questo si capisce l' |
==== Il destino dell' | ==== Il destino dell' | ||
Linea 267: | Linea 286: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{22} | \label{22} | ||
+ | \tag{22} | ||
\dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) | \dot R^2 = H^2_0 R^2_0\left(\Omega\frac{R_0}{R}+1-\Omega \right) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 274: | Linea 294: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{23} | \label{23} | ||
+ | \tag{23} | ||
\dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) | \dot R^2 = H^2_0 R^2_0(1-\Omega) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 285: | Linea 306: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{24} | \label{24} | ||
+ | \tag{24} | ||
\dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} | \dot R^2 = \frac{H^2_0 R^3_0}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 300: | Linea 322: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{25} | \label{25} | ||
+ | \tag{25} | ||
\int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ | \int_0^R \sqrt{R}~dR = H_0 \sqrt{R^3_0} \int_0^t dt \\ | ||
\implies | \implies | ||
Linea 325: | Linea 348: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{rho_f} | + | \label{26} |
+ | \tag{26} | ||
\rho_f = n\epsilon | \rho_f = n\epsilon | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 332: | Linea 356: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{n} | + | \label{27} |
+ | \tag{27} | ||
n \propto \frac{1}{R^3} | n \propto \frac{1}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 355: | Linea 380: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
- | \label{eps} | + | \label{28} |
+ | \tag{28} | ||
\epsilon \propto \frac{1}{R} | \epsilon \propto \frac{1}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
- | Sostituendo la $\eqref{eps}$ e la $\eqref{n}$ nella $\eqref{rho_f}$ ne deduciamo che: | + | Sostituendo la $\eqref{28}$ e la $\eqref{27}$ nella $\eqref{26}$ ne deduciamo che: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{30} | \label{30} | ||
+ | \tag{30} | ||
\rho_f \propto \frac{1}{R^4} | \rho_f \propto \frac{1}{R^4} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 370: | Linea 397: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{31} | \label{31} | ||
+ | \tag{31} | ||
\rho_m \propto \frac{1}{R^3} | \rho_m \propto \frac{1}{R^3} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 387: | Linea 415: | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{32} | \label{32} | ||
+ | \tag{32} | ||
\epsilon = kT | \epsilon = kT | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linea 392: | Linea 421: | ||
dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann. | dove $k$ è una costante chiamata costante di Boltzmann. | ||
- | Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{eps}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che: | + | Orbene, poichè già sappiamo dalla $\eqref{32}$ che $\epsilon \propto 1/R$ ne vien fuori che: |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{33} | \label{33} | ||
+ | \tag{33} | ||
T \propto \frac{1}{R} | T \propto \frac{1}{R} | ||
\end{equation} | \end{equation} |