curvatura_dello_spazio-tempo

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curvatura_dello_spazio-tempo [21/05/2020 19:08] – [Approfondimenti] Roberto Puzzangheracurvatura_dello_spazio-tempo [17/04/2024 07:33] (versione attuale) – [Come misurare il raggio $R$?] Roberto Puzzanghera
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-Questa pagina riprende la lezione 10 del libro di E. Fabri [[http://www.sagredo.eu/Q16/|Insegnare Relatività nel XXI secolo]], al fine di semplificare gli aspetti matematici e rendere accessibile l'argomento ai miei studenti della scuola secondaria superiore.+Questa pagina riprende la lezione 10 del libro di E. Fabri [[https://fabri.sagredo.eu/Q16/|Insegnare Relatività nel XXI secolo]], al fine di semplificare gli aspetti matematici e rendere accessibile l'argomento ai miei studenti della scuola secondaria superiore.
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 [{{ :relativita:maree-st.jpg?300 |Fig. 1}}] [{{ :relativita:maree-st.jpg?300 |Fig. 1}}]
  
-Einstein interpreta ciò in termini di **curvatura dello spazio-tempo**: se non ci fosse la gravità (e quindi le forze di marea) le due masse non cambierebbero la loro distanza e nello $s-t$ le due rette parallele non divergerebbero. Ma lo spazio-tempo è curvo ed esse non stanno ferme pur non essendo soggette a forze. La curvatura è introdotta dalla massa che ha generato il [[campo gravitazionale]].+Einstein interpreta ciò in termini di **curvatura dello spazio-tempo**: se non ci fosse la gravità (e quindi le forze di marea) le due masse non cambierebbero la loro distanza e nello $s-t$ le due rette parallele non divergerebbero (che brutta parola! si può dire diverg...? bah). Ma lo spazio-tempo è curvo ed esse non stanno ferme pur non essendo soggette a forze. La curvatura è introdotta dalla massa che ha generato il [[campo gravitazionale]].
  
 Ma se lo spazio-tempo è deformato e non è piano, com'è fatto? Che forma ha? Di solito si illustra il concetto con figure come questa, che però non rappresenta la vera geometria (la forma) dello spazio-tempo. Ma se lo spazio-tempo è deformato e non è piano, com'è fatto? Che forma ha? Di solito si illustra il concetto con figure come questa, che però non rappresenta la vera geometria (la forma) dello spazio-tempo.
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 {{ :relativita:spacetime_curvature.png |}} {{ :relativita:spacetime_curvature.png |}}
  
-I matematici descrivono la geometria di uno spazio con un numero, il **raggio di curvatura** $R_C$. Se lo spazio è una sfera il raggio di curvatura non cambia da punto a punto e corrisponde al suo raggio; invece in un piano non c'è curvatura, come dire che il raggio di curvatura è infinito.+I matematici descrivono la geometria di uno spazio con un numero, il **raggio di curvatura** $R_C$, e dalla //curvatura//, di cui parleremo tra poco. Se lo spazio è una sfera il raggio di curvatura non cambia da punto a punto e nemmeno al variare della sezione considerata, e corrisponde al suo raggio; invece in un piano non c'è curvatura, come dire che il raggio di curvatura è infinito.
 ===== La curvatura di una sfera ===== ===== La curvatura di una sfera =====
  
Linea 37: Linea 37:
 Disegnamo il triangolo sferico $ABP$. Da due punti $A$ e $B$, sullo stesso parallelo, tracciamo le distanze dal polo $\widehat{AP}$ e $\widehat{BP}$. Queste distanze, uguali tra loro, sono archi di cerchio massimo, cioè delle [[geodetiche]]. Quando su $\widehat{AP}$ si percorre un tratto curvilineo di lunghezza $s$, si perviene in $A'$; allo stesso modo da $B$ si giunge in $B'$. Ora, la distanza $\widehat{A'B'}$ è approssimativamente uguale all'arco di cerchio di raggio $R'$. Dico approssimativamente perchè questo NON è un [[cerchio massimo]], ma possiamo trascurare l'errore se consideriamo l'angolo diedro $\beta$ abbastanza piccolo. Disegnamo il triangolo sferico $ABP$. Da due punti $A$ e $B$, sullo stesso parallelo, tracciamo le distanze dal polo $\widehat{AP}$ e $\widehat{BP}$. Queste distanze, uguali tra loro, sono archi di cerchio massimo, cioè delle [[geodetiche]]. Quando su $\widehat{AP}$ si percorre un tratto curvilineo di lunghezza $s$, si perviene in $A'$; allo stesso modo da $B$ si giunge in $B'$. Ora, la distanza $\widehat{A'B'}$ è approssimativamente uguale all'arco di cerchio di raggio $R'$. Dico approssimativamente perchè questo NON è un [[cerchio massimo]], ma possiamo trascurare l'errore se consideriamo l'angolo diedro $\beta$ abbastanza piccolo.
  
-La distanza $y_0$ tra $A$ e $B$, nel viaggio verso il polo, è diventata $y=\widehat{A'B'}$, che è minore di $y_0$ perchè ci stiamo muovendo su una sfera. **Noi vogliamo scoprire con quale legge varia $y$, e nel contempo misurare il raggio di curvatura $R$**.+La distanza $y_0$ tra $A$ e $B$, nel viaggio verso il polo, è diventata $y=\widehat{A'B'}$, che è minore di $y_0$ perchè ci stiamo muovendo su una sfera. **Noi vogliamo scoprire con quale legge varia $y$, che è la distanza tra due [[geodetiche]], e nel contempo misurare il raggio di curvatura $R$**.
  
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 \end{equation} \end{equation}
  
-In quest'ultima formula ho messo $R_C$ al posto di $R$ perchè sarà una legge più generale, che ci servirà per definire il **raggio di curvatura** $R_C$ di una superficie **qualunque**. Il fatto che questo risultato lo si possa generalizzare a un qualunque tipo di superficie lo dobbiamo a Gauss.+In quest'ultima formula ho messo $R_C$ al posto di $R$ per intendere il **raggio di curvatura** $R_C$, che ci servirà per definire la //curvatura di Gauss// di una superficie **qualunque**. Il fatto che il calcolo qui fatto lo si possa generalizzare a un qualunque tipo di superficie lo dobbiamo a Gauss.
  
 Il primo membro della $\eqref{4}$ ha segno positivo, ma anche il secondo membro, nonostante il segno $-$. Infatti la derivata seconda è anch'essa negativa; per convincerci di ciò è sufficiente ricordare che la funzione $\eqref{3}$, per valori piccoli di $s$, ha la concavità rivolta verso il basso e perciò la $y''$ è negativa. Il primo membro della $\eqref{4}$ ha segno positivo, ma anche il secondo membro, nonostante il segno $-$. Infatti la derivata seconda è anch'essa negativa; per convincerci di ciò è sufficiente ricordare che la funzione $\eqref{3}$, per valori piccoli di $s$, ha la concavità rivolta verso il basso e perciò la $y''$ è negativa.
Linea 89: Linea 89:
 Ma intanto avrete notato che sto parlando di **curvatura** come sinonimo della quantità $1/R_C^2$. Per una definizione rigorosa del concetto di **curvatura di Gauss** vedere i riferimenti indicati in fondo a questa pagina. Ma intanto avrete notato che sto parlando di **curvatura** come sinonimo della quantità $1/R_C^2$. Per una definizione rigorosa del concetto di **curvatura di Gauss** vedere i riferimenti indicati in fondo a questa pagina.
  
-Ricapitolando, cosa rappresenta la funzione $y = y_0 \cos (s/R)~$ o, il che è lo stesso, la $\eqref{4}$? È la legge secondo cui le [[geodetiche]] che si conducono verso il polo diminuiscono la distanza reciproca. Dovrebbe essere chiaro a questo punto che questa legge deve dipendere dal raggio di curvatura $R_C$: tanto più è piccolo $R_C$ quanto più velocemente esse convergono e viceversa.+Ricapitolando, cosa rappresenta la funzione $y = y_0 \cos (s/R)~$ o, il che è lo stesso, la $\eqref{4}$? È la legge secondo cui le [[geodetiche]] che ci conducono verso il polo diminuiscono la distanza reciproca. Dovrebbe essere chiaro a questo punto che questa legge deve dipendere dal raggio di curvatura $R_C$: tanto più è piccolo $R_C$ quanto più velocemente esse convergono e viceversa.
 ===== La curvatura dello spazio-tempo ===== ===== La curvatura dello spazio-tempo =====
  
-Torniamo ora alla relatività e cerchiamo di utilizzare la $\eqref{4}$ per calcolare il raggio di curvatura dello $s-t$ quando è presente una massa $M$. Riprendiamo la formula (1) del campo di marea già derivata nella pagina sulle [[maree]]:+Torniamo ora alla relatività e cerchiamo di utilizzare la $\eqref{4}$ per calcolare il raggio di curvatura dello $s-t$ vicino a una massa $M$. Riprendiamo la formula (1) del campo di marea già derivata nella pagina sulle [[maree]]:
  
 \begin{equation} \begin{equation}
Linea 153: Linea 153:
 \end{equation} \end{equation}
  
-Allora la curvatura vicino a una massa $M$ dipende solo dalla sua densità. Si capisce che l'implosione di una stella e il conseguente aumento di $\rho$ implica un consistente aumento della curvatura dello spazio-tempo nelle sue vicinanze.+Allora la curvatura prodotta da una massa $M$ dipende solo dalla sua densità. Si capisce che l'implosione di una stella e il conseguente aumento di $\rho$ implica un consistente aumento della curvatura dello spazio-tempo nelle sue vicinanze.
  
 ===== Problemi ===== ===== Problemi =====
Linea 160: Linea 160:
 ===== Riferimenti ===== ===== Riferimenti =====
  
-  * [[http://www.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lez. 10]]+  * [[https://fabri.sagredo.eu/Q16/lez10.pdf|Elio Fabri, Insegnare Relatività nel XXI secolo, Lez. 10]]
  
 ===== Approfondimenti ===== ===== Approfondimenti =====
  • curvatura_dello_spazio-tempo.1590088111.txt.bz2
  • Ultima modifica: 21/05/2020 19:08
  • da Roberto Puzzanghera