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| curvatura_dello_spazio-tempo [29/05/2020 10:55] – [Le maree viste nello spazio-tempo] Roberto Puzzanghera | curvatura_dello_spazio-tempo [29/06/2022 18:09] – [Come misurare il raggio $R$?] Roberto Puzzanghera |
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| I matematici descrivono la geometria di uno spazio con un numero, il **raggio di curvatura** $R_C$. Se lo spazio è una sfera il raggio di curvatura non cambia da punto a punto e nemmeno al variare della sezione considerata, e corrisponde al suo raggio; invece in un piano non c'è curvatura, come dire che il raggio di curvatura è infinito. | I matematici descrivono la geometria di uno spazio con un numero, il **raggio di curvatura** $R_C$, e dalla //curvatura//, di cui parleremo tra poco. Se lo spazio è una sfera il raggio di curvatura non cambia da punto a punto e nemmeno al variare della sezione considerata, e corrisponde al suo raggio; invece in un piano non c'è curvatura, come dire che il raggio di curvatura è infinito. |
| ===== La curvatura di una sfera ===== | ===== La curvatura di una sfera ===== |
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| \end{equation} | \end{equation} |
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| In quest'ultima formula ho messo $R_C$ al posto di $R$ perchè sarà una legge più generale, che ci servirà per definire il **raggio di curvatura** $R_C$ di una superficie **qualunque**. Il fatto che questo risultato lo si possa generalizzare a un qualunque tipo di superficie lo dobbiamo a Gauss. | In quest'ultima formula ho messo $R_C$ al posto di $R$ per intendere il **raggio di curvatura** $R_C$, che ci servirà per definire la //curvatura di Gauss// di una superficie **qualunque**. Il fatto che il calcolo qui fatto lo si possa generalizzare a un qualunque tipo di superficie lo dobbiamo a Gauss. |
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| Il primo membro della $\eqref{4}$ ha segno positivo, ma anche il secondo membro, nonostante il segno $-$. Infatti la derivata seconda è anch'essa negativa; per convincerci di ciò è sufficiente ricordare che la funzione $\eqref{3}$, per valori piccoli di $s$, ha la concavità rivolta verso il basso e perciò la $y''$ è negativa. | Il primo membro della $\eqref{4}$ ha segno positivo, ma anche il secondo membro, nonostante il segno $-$. Infatti la derivata seconda è anch'essa negativa; per convincerci di ciò è sufficiente ricordare che la funzione $\eqref{3}$, per valori piccoli di $s$, ha la concavità rivolta verso il basso e perciò la $y''$ è negativa. |
| Ma intanto avrete notato che sto parlando di **curvatura** come sinonimo della quantità $1/R_C^2$. Per una definizione rigorosa del concetto di **curvatura di Gauss** vedere i riferimenti indicati in fondo a questa pagina. | Ma intanto avrete notato che sto parlando di **curvatura** come sinonimo della quantità $1/R_C^2$. Per una definizione rigorosa del concetto di **curvatura di Gauss** vedere i riferimenti indicati in fondo a questa pagina. |
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| Ricapitolando, cosa rappresenta la funzione $y = y_0 \cos (s/R)~$ o, il che è lo stesso, la $\eqref{4}$? È la legge secondo cui le [[geodetiche]] che si conducono verso il polo diminuiscono la distanza reciproca. Dovrebbe essere chiaro a questo punto che questa legge deve dipendere dal raggio di curvatura $R_C$: tanto più è piccolo $R_C$ quanto più velocemente esse convergono e viceversa. | Ricapitolando, cosa rappresenta la funzione $y = y_0 \cos (s/R)~$ o, il che è lo stesso, la $\eqref{4}$? È la legge secondo cui le [[geodetiche]] che si conducono verso il polo diminuiscono la distanza reciproca (quindi il contrario di ciò che succede nello spazio tempo, ecco perchè ho detto che lì la curvatura è negativa). Dovrebbe essere chiaro a questo punto che questa legge deve dipendere dal raggio di curvatura $R_C$: tanto più è piccolo $R_C$ quanto più velocemente esse convergono e viceversa. |
| ===== La curvatura dello spazio-tempo ===== | ===== La curvatura dello spazio-tempo ===== |
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