La contrazione delle lunghezze

Vediamo ora come la misura di lunghezza patisce la stessa sorte della misura del tempo.

La figura a fianco (Halliday-Resnick) mostra le difficoltà che insorgono quando si cerca di misurare la lunghezza di un oggetto in movimento. Una misura precisa della larghezza del pinguino richiederebbe di prendere la posizione della coda $x_A$ e della zampa $x_B$ simultaneamente, prima che questo si sposti e porti la zampa più avanti di quanto non fosse al momento ($t_0$) in cui posizionavamo il regolo sulla coda.

Ma abbiamo visto che la simultaneità è relativa. Questo è il motivo per cui, dopo il concetto di intervallo di tempo, dobbiamo rivedere anche il concetto di lunghezza.

La lunghezza propria di un corpo è quella misurata nel sistema di riferimento in cui esso è visto a riposo. In pratica è quella che si può ben misurare con un regolo.

La simmetria nella contrazione delle lunghezze: per chi sta alla stazione il treno in movimento è più corto, per chi sta sul treno il marciapiede della stazione in moto è accorciato.
Figura da Landau-Rumer, What is relativity?

Vogliamo misurare la lunghezza di un treno che si muove a velocità $v$ rispetto al riferimento della stazione. Come possiamo immaginare un osservatore posto sul treno non è d'accordo con un altro solidale alla stazione riguardo alla lunghezza del treno stesso. Noi vogliamo calcolare il rapporto tra le lunghezze che i due misurano.

Il treno si muove a velocità $v$, che noi conosciamo. Quando arriva la testa del treno si fa partire il cronometro. Quando nello stesso punto è passata anche la coda si arresta il tempo. Diciamo $L$ la lunghezza del treno che abbiamo trovato:

$$ L = v\Delta \tau $$

dove $\Delta \tau$ è il tempo da noi misurato. Esso è un tempo proprio perchè i due eventi (la testa del treno passa qui, la coda del treno passa qui) sono accaduti nello stesso luogo.

Un nostro collega sul treno ne vuol misurare anche lui la lunghezza. Può benissimo misurare la lunghezza del treno con un regolo, ottenendo la lunghezza propria $L_0$, ma decide di fare anche una misura indiretta di $L_0$.

Egli vede la stazione muoversi verso di lui, in particolare nota un palo della luce sulla banchina arrivare a velocità $v$.

Egli deve misurare l'intervallo di tempo che separa i due eventi seguenti:

  1. il palo passa davanti alla testa del treno
  2. il palo passa davanti alla coda del treno

Per fare questo ha bisogno di due orologi sincronizzati, uno sulla testa e uno sulla coda del treno, per misurare rispettivamente gli istanti di tempo degli eventi 1 e 2.

Nel suo riferimento i due eventi NON avvengono nello stesso luogo (infatti l'evento 1 si verifica sulla testa, mentre il secondo avviene sulla coda), quindi non si tratta di un tempo proprio.

La misura di lunghezza $L_0$ che egli ottiene è questa:

$$ L_0 = v \Delta t $$

Il tempo $\Delta t$ da lui misurato è diverso da quello preso da noi alla stazione, ovviamente. Lui sa che l'intervallo di tempo $\Delta \tau$ preso alla stazione in moto rispetto a lui deve essere minore del suo tempo $\Delta t$. E sa che tra i due tempi vale la relazione seguente:

$$ \Delta t = \gamma \Delta \tau \qquad \implies \qquad \Delta t > \Delta \tau$$

Dividiamo membro a membro le due equazioni e semplifichiamo $v$:

$$ \frac{L}{L_0} = \frac{\Delta \tau}{\Delta t} = \frac{1}{\gamma} $$

L'ultima uguaglianza è conseguenza della legge della dilatazione dei tempi.

In definitiva abbiamo che:

$$ L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

pertanto è $L<L_0$ in quanto sappiamo che $\gamma>1$.

Quindi la misura della lunghezza del treno è inferiore a quella che noi misureremmo se esso fosse a riposo (lunghezza propria). Attenzione però, le cose vanno esattamente al contrario se le guardo dal treno: qui la lunghezza della banchina risulta accorciata (vedi figura)!

Gli oggetti in moto ci risultano contratti, ma attenzione: solo nella direzione del moto. Una sbarra posta in verticale che si muove verso di noi si assottiglia, ma non si accorcia!