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--- atomo_di_bohr [05/05/2015 19:05] – [La quantizzazione delle orbite] Roberto Puzzanghera
+++ atomo_di_bohr [05/05/2015 19:29] – [La quantizzazione delle orbite] Roberto Puzzanghera
@@ Linea 73: / Linea 73: @@
 $$
+<wrap em>
 \begin{equation}
 \label{E}
 E_n = -\frac {1}{8\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r_n}=-\frac{1}{n^2}\frac{me^4}{8\epsilon_0 h^2}
 \end{equation}
+</wrap>
 Secondo Bohr l'atomo di idrogeno ha un raggio di 5 centesimi di miliardesimno di metro (0,05 nanometri //nm//):
@@ Linea 91: / Linea 93: @@
 Quindi, variando il raggio come $n^2$, gli atomi hanno dimensioni dell'ordine dei nanometri ed energie dell'ordine degli [[elettronVolt]].
 ====  La radiazione e l'assorbimento di fotoni  ====
 Bohr ritenne giustamente che l'atomo potesse assorbire solo i fotoni aventi energia pari alle differenze di energia delle orbite nel processo di eccitazione e emettere le stesse energie che è in grado di assorbire:
@@ Linea 107: / Linea 108: @@
 \end{equation}
-possiamo calcolare la lunghezza d'onda del fotone emesso da una transizione elettronica mettendo a sistema la $\eqref{lambda}$ e la $\eqref{E}$:
+possiamo calcolare la lunghezza d'onda del fotone emesso da una transizione elettronica tra un livello $n$ e un livello $k$ (con $n>k$):
+$$
+hf = h\dfrac{c}{\lambda} = E_n - E_k = \dfrac{me^4}{8\epsilon_0 h^2} \left (\frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right ) \\
+\implies \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{me^4}{8c~\epsilon_0 h^3} \left (\frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right )
+$$
+Se si definisce come costante di Rydberg $R$ la quantità costante
+$$ R = \dfrac{me^4}{8c~\epsilon_0 h^3}$$
+la formula precedente assume la forma già conosciuta empiricamente ben prima dai tempi di Bohr:
 \begin{equation}
-\label{lambda2}
+\label{lambda3}
+\dfrac{1}{\lambda} = R \left (\frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right )
+\end{equation}
+Ad esempio, se $k=2$ la formula riproduce le lunghezze d'onda della serie di Balmer, che cade nel visibile (la più famosa è la $H_\alpha$), e che corrisponde alle emissioni con stato finale $n=2$:
+\begin{equation}
+\label{balmer}
+\dfrac{1}{\lambda} = R \left (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right )
 \end{equation}
+Se invece $k=1$ abbiamo la serie di Lyman, che cade nell'ultravioletto
+<wrap em>
+\begin{equation}
+\label{lyman}
+\dfrac{1}{\lambda} = R \left (1 - \frac{1}{n^2} \right )
+\end{equation}
+</wrap>
+Il fatto che la teoria di Bohr fosse stata in grado di rendere conto delle formule sperimentali sulle righe spettrali è da considerarsi un notevole successo.
 La misura delle frequenza di emissione/assorbimento di un atomo e quindi l'analisi degli spettro della luce con metodi spettroscopici (prisma) può consentire di conoscere la natura della sostanza che ha emesso quella luce. Chi fa spettroscopia, insomma, analizza le //impronte digitali// degli atomi guardandone le righe spettrali; naturalmente, così come le impronte digitali su una superficie possono appartenere a molte persone, lo stesso avviene per gli spettri, dove in genere bisogna saper riconoscere la sovrapposizione delle righe spettrali di molti atomi.
@@ Linea 125: / Linea 155: @@
 ===  Applet Java  ===
 Approfondisci ora giocando con questa applet sulle [[Spettroscopia#Le_transioni_elettroniche_e_le_righe_spettrali|transizioni elettroniche e le righe spettrali]]
 =====  Le prove a favore della teoria di Bohr  =====
 La formula che prevede l'energia delle orbite in funzione del numero quantico viene confermata perfettamente dall'[[spettroscopia|analisi spettroscopica]].